Sur le théorème de \textit{v. Staudt} et de \textit{Th. Clausen} relatif aux nombres de \textit{Bernoulli}. (Q1472934)

``Es sei \(p\) eine ungerade solche Primzahl, daß \(p-1\) die positive ganze Zahl \(2n\) teilt; wir werden kurz sagen, \(p\) sei vom Range \(n\). Man bezeichne mit \(m\) eine beliebige positive ganze Zahl; offenbar ist die Primzahl \(p\) vom Range \(n\) auch eine solche vom Range \(mn\), d. h. die Primzahl 3 ist von einem beliebigen Range. Nehmen wir dagegen die positive ganze Zahl \(n\) als gegeben an, dann ist der Inbegriff der Primzahlen vom Range \(n: \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{\nu_n}\) vollständig bestimmt. Wenn diese Definitionen gelten, so gibt das Theorem von \textit{v. Staudt} (J. für Math. 21, 372-374, 1840) und von \textit{Th. Clausen} (Astr. Nachr. 17, 351-352, 1840) für die \(n\)-te \textit{Bernoulli}sche Zahl einen Ausdruck von der Form \[ (-1)^nB_n=A_n+\frac12+\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2} +\cdots+\frac{1}{\lambda_{\nu_n}}, \] wo \(A_n\) eine ganze Zahl bezeichnet. Hiernach verlangt offensichtlich die Bestimmung des gebrochenen Teiles von \(B_n\) die Kenntnis aller Primzahlen vom Range \(n\), d. h. eine Bestimmung, die ein sehr schwieriges Problem ist. Was den ganzzahligen Teil \(A_n\) der Zahl \(B_n\) anlangt, so hängt auch er von den Primzahlen vom Range \(n\) ab, wie dies Theoreme von v. \textit{Staudt} (De numeris Bernoullianis commentatio I, II, Erlangen, 1842) und von \textit{Stern} (J. für Math. 81, 290-294, 1876) klar zeigen; aber die Natur dieser Zahlen ist sonst völlig unbekannt. Man hat eine Zahl von Beziehungen charakteristisch für die \(A_n\) genannt, die unter diesem Gesichtspunkte eine Täuschung darstellen. Tatsächlich sind die in Rede stehenden Formeln nichts anderes als Eigenschaften, die den Koeffizienten einer recht ausgedehnten Gruppe der rekursiven Formeln für die \textit{Bernoulli}schen Zahlen gemeinsam sind; dies wird offensichtlich, wenn wir aus einem allgemeinen Gesichtspunkte das erwähnte Problem ergründen, ohne uns auf gewisse Sonderfälle zu beschränken.'' Eine solche Betrachtung bildet den Gegenstand der Abhandlung, deren Unterteile betitelt sind: I. Allgemeine Sätze. II. Verschiedene Anwendungen. III. Über die Koeffizienten von Faktoriellen. Die Arbeit hängt mit der nachstehend angezeigten eng zusammen.