Sur les nombres de \textit{Bernoulli} et leur application dans la théorie des nombres. (Q1472935)

I. Bemerkungen über die \textit{Bernoulli}sche Formel. In diesem Abschnitte wird gezeigt, wie man die ursprüngliche \textit{Bernoulli}sche Formel verallgemeinern kann. II. Über die Natur der \textit{Bernoulli}schen Zahlen. Hier werden Kongruenzen abgeleitet, denen diese Zahlen sowie ihre Zähler und Nenner genügen. III. Über die Quotientenv \textit{Fermat} und \textit{Wilson}. Von den Ergebnissen sei angeführt: Die hinreichende und notwendige Bedingung für die Existenz der Kongruenz \(a^{p- 1}-1\equiv 0 (\text{mod.} p^2)\), wo \(p\) eine die Zahl \(a\) nicht teilende Primzahl ist, wird durch die andere Kongruenz dargestellt: \[ (24)\quad \frac{1-a}{2a}\equiv \sum_{s=1}^{s=n-1} \frac{(- 1)^{s-1}B_s}{2s}\;(a^{2n-2s}-1)({\text{mod.}}p). \] Aus einer Kongruenz von \textit{Glaisher} folgt sofort der Satz: Die hinreichende und notwendige Bedingung für die Existenz der Kongruenz (25) \((p-1)!+1\equiv 0 (\text{mod.} p^2)\), wo \(p\) eine Primzahl ist, wird durch die andere Kongruenz dargestellt: \[ (26)\quad (-1)^nB_n-\frac{1}{p}+1\equiv 0\;({\text{mod.}}p). \] Die Kongruenz (25) wird für \(p=5\) erfüllt. Außerdem ist \[ -B_6+\frac{1}{13}-1=-\frac{691}{2730}+\frac{1}{13}-1=- \frac{247}{210}\equiv 0\;({\text{mod.}}13); \] dies gibt \(12!+1\equiv 0 (\text{mod.} 13^2)\). In der Tat ist \(12!+1=478 001 601=169\cdot 2 834 329\). ``Es springt in die Augen, daß die beiden eben ausgesprochenen Sätze bemerkenswerte und tiefe Anwendungen der \textit{Bernoulli}schen Zahlen in sehr interessanten und sehr schwierigen Aufgaben der Zahlentheorie geben.''