Über die Gitterpunkte in einem Kreise. I, II. (Q1472946)

I. ``Es bezeichne \(A(x)\) die Anzahl aller Paare ganzer Zahlen, die dem Kreise \(u^2+v^2\le x\) angehören. Die fast triviale \textit{Gauß}sche Abschätzung \(A(x)=\pi x+O(\sqrt{x})\) wurde zum ersten Male durch \textit{W. Sierpiński} [Prace Mat.-Fiz. 17, 77--118 (1906); Selected works Vo. I, 73--108 (1974; Zbl 0285.01022)] zu (1) \(A(x)=\pi x+o(\sqrt{x})\) verschärft. Er bewies nämlich (2) \(A(x)=\pi x+O(x^{\frac{1}{3}})\). Für (2) habe ich später [Ann. Mat. (3) 20, 1--28 (1913; JFM 44.0209.03)] mit der vordem unbegründeten, sogenannten Pfeifferschen Methode einen kürzeren Beweis angegeben. Auf einem zweiten, ganz verchiedenen Wege bin ich [ Batt. G. (3) 4(51), 73--81 (1913; JFM 44.0210.01)] noch kürzer wenigstens zu (3) \(A(x)=\pi x+O(x^{\frac{1}{3}+\varepsilon})\) bei jedem \(\varepsilon>0\) gelangt. Heute will ich durch eine neue Vereinfachung der Pfeifferschen Methode wiederum (3) beweisen. Dies ist methodisch ein Fortschritt und auch -- die klassische Analysis als gemeinsame Grundlage genommen -- jetzt der schnellste Weg zu (3) und bereits zu (1), weil mein erwähnter zweiter Beweis neuere Eigenschaften spezieller analytischer Funktionen voraussetzte.'' II. ``Es bezeichne \(\alpha\) die untere Grenze der Konstanten, für welche die Anzahl \(A(x)\) der Gitterpunkte des Kreises \(u^2+v^2\leqq x\) der Relation \(A(x)=\pi x+O(x^n)\) genügt. Anders ausgedrückt: Es sei \(\alpha\) die Konvergenzabszisse der Dirichletschen Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{U(n)- \pi}{n^s} =4\zeta_{\kappa}(s)-\pi\zeta(s)=4\left(-\frac{\pi}{4}+1- \frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}\cdots\right)\times\left( 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots\right), \] wo \(U(n)\) die Anzahl der Lösungen von \(n=u^2+v^2\) und \(\zeta_{\kappa}(s)\) die Zetafunktion des \textit{Gauß}schen Körpers \(P(i)\) ist. Nachdem erst \textit{Sierpiński} 1906 über das triviale Ergebnis \(\alpha\le\frac12\) hinausgekommen war und \(\alpha\le\frac{1}{3}\) bewiesen hatte, habe ich schließlich in meiner ersten Mitteilung unter obigem Titel für diesen Satz \(\alpha\le\frac{1}{3}\) einen neuen, verhältnismäßig kurzen Beweis angegeben. Nach unten ist es aber bisher niemals gelungen, die triviale Abschätzung \(\alpha\geqq 0\) zu verbessern (bzw. zu beweisen, daß 0 die wahre Konstante ist). Auf höchst eigentünliche Weise habe ich jetzt das Problem gelöst und werde \(\alpha\ge\frac{1}{4}\) beweisen.''