A new principle in the geometry of numbers, with some applications. (Q1472949)

Der Verf. stellt zunächst eine neue Definition von Gitterpunkten auf: ``Der \(n\)-dimensionale, durch die rechtwinkligen Koordinaten \(x_1,\dots,x_n\) definierte Raum werde durch \(n\) Systeme von Ebenen \(x_1a_1+b_1t,\dots,x_n=a_n+b_nt\;(t=0,\pm 1,\pm 2,\dots)\) in gleiche rechtwinklige Räume geteilt. Wir nennen diese Räume ``fundamentale Parallelepipeda''. In jeden von ihnen werde in willkürlicher Art eine gegebene Anzahl von Punkten, sagen wir \(k\), eingestellt, von denen aber keiner auf den Grenzen der Parallelepipeda liegt. Diese Punkte werden als ``Gitterpunkte'' bezeichnet. Für sie wird ein Theorem bewiesen, welches einen bekannten Satz von \textit{Minkowski} verallgemeinert. Dann werden folgende Sätze hieraus abgeleitet: II. Es sei \(F\) eine positive definite quadratische Form in \(n\) Variabeln und von der Determinante \(D\). Dann können ganze Zahlen \(l_1,\dots,l_n\), die nicht alle Null sind, für die \(n\) Variabeln so substituiert werden, daß \(F\) nicht größer ist als \(\frac{2}{\pi}\left[ \Gamma \left(1+\frac{n+2}{2}\right) \right]^{2/n}D^{1/n}\) (ein halb so großer Wert wie Grenze bei \textit{Minkowski}). III. Ganze Zahlen \(l_1,\dots,l_n\), die nicht alle Null sind, können für die Variabeln \(x_1,\dots,x_n\) substituiert werden, so daß \[ 0<| v_1|+\cdots+| v_n|\leqq \sqrt{\frac{2n}{\pi}}\left[\Gamma \left( 1+\frac{n+2}{2} \right) \right]^{1/n}|\Delta|^{1/n}. \] Der asymtotische Wert \(\frac{n}{\sqrt{\pi e}}|\Delta|^{1/n}\) dieser Grenze ist kleiner als bei \textit{Minkowski}. IV. Es seien \(n-1\) positive Größen \(\alpha_1,\dots\alpha_{n-1}\) und eine beliebig kleine Größe \(b<\frac12\) gegeben; dann lassen sich \(n\) ganze Zahlen \(X_1,\dots,X_n\) so finden, daß die \(n-1\) Differenzen \(| X_i/Z-\alpha_i|\) nicht größer als \(2b\) sind, und geichzeitig alle nicht größer als \[ Z^{\gamma/n(n-1)}=\frac{nZ^{-(n/n-1)}}{n\left[1+\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n+2}\right]^{1/n-1}}, \] wo der gemeinschaftliche Nenner \(Z\) nicht größer gewählt zu werden braucht als \(2a\leqq(\gamma/b)^{n-1}\).''