Neue Anwendungen der \textit{Pfeiffer}schen Methode zur Abschätzung zahlentheoretischer Funktionen. (Q1472951)

Über die Anzahl \(A_2(x)\) der Gitterpunkte im Kreise mit dem Radius \(\sqrt{x}\) um den Nullpunkt, d. h. die Anzahl deeer ganzzahligen Lösungen von \(u^2+v^2\leqq x\) hat \textit{Sierpiński} bewiesen, daß (1) \(A_2(x)=\pi x+O(x^{\frac{1}{3}})\). Diesen Satz verallgemeinert der Verf. in den beiden Hauptteilen der vorliegenden Arbeit nach zwei Richtungen. Im ersten Teil (\S\S\,1-5) wird ein analoger Satz bewiesen für die Anzahl \(A(x)\) der Gitterpunkte in der Kugel mit dem Radius \(\sqrt{x}\) um den Nullpunkt, d. h. also die Anzahl der Lösungen von \(u^2+v^2+w^2\leqq x\) in ganzen Zahlen. Über \(A(x)\) ist durch \textit{Landau} (F. d. M. 43, 266 (JFM 43.0266.*), 1912) für jedes \(\varepsilon>0\;(2)\;A(x)=\frac{4}{3}\pi x^{3/2}O(x^{3/4+\varepsilon})\) bekannt. Jetzt wird dies verschärft zu (3) \(A(x)=\frac{4}{3}\pi x^{3/2}O(x^{3/4})\). Aus diesem Ergebnis werden (\S\,6) zwei Folgerungen gezogen. Erstens kann man mit (3) einen Satz von \textit{M. Rieß} auf eine mit dem Problem zusammenhängende \textit{Dirichlet}sche Reihe anwenden. Zweitens wird aus (3) die Relation abgeleitet: \[ (4)\quad \sum\;\frac{1}{u^2+v^2+w^2}=4\pi\sqrt{x}+c+O(x^{- \frac{1}{4}}\;(0<u^2+v^2+w^2\leqq x). \] Über diese Summe hat \textit{Sierpiński} eine besondere Arbeit geschrieben, deren Hauptergebnis dann von \textit{Landau} verschärft wurde, und (4) ist wieder um \(\varepsilon\) im Exponenten des \(O\)-Gliedes besser als die Abschätzung von \textit{Landau}. Im zweiten Teil (\S\S\,7-12) wird für die Anzahl \(A_n(x)\) der Lösungen von \(| u|^n+| v|^n\leqq x\) abgeschätzt, was für \(n>2\) ganz neu ist, während für \(n=2\) der \textit{Sierpiński}sche Satz (1) mit herauskommt. Es wird nämlich gezeigt: \[ (5)\quad A_n(x)=J\cdot x^{2/n}+O(x^{\nu}), \] wo \(\nu=\frac{2}{n}\cdot\frac{n-1}{2n-1},\;J\) eine nur von \(n\) abhängende Konstante ist. Trivial ist \(A_n(x)=J\cdot x^{2/n}+O(x^{1/n})\), wo daß \(O\)-Glied gerade die Dimension des Randes des Gebietes hat. Diese Abschätzung ergibt sich aus dem bekannten, zuerst bei der Bestimmung der Klassenzahl quadratischer Formen benutzten geometrischen Hülfssatz. Sie ist auch mit \(A=B=1,\;\alpha=\beta=n\) in der Abschätzung der Anzahl der ganzzahligen Lösungen von \(Au^{\alpha}+Bv^{\beta}\leqq x\) bei \textit{Bachmann} (Analytische Zahlentheorie, 1894) enthalten. Die Methode, mit der die Beweise von (3) und (5) geführt werden, ist die sogenannte \textit{Pfeiffer}sche (vgl. \textit{Landau}, F. d. M. 43, 268 (JFM 43.0268.*), 1912; 44, 209, 1913). Im ersten Teil wird diese Methode zum ersten Male auf ein räumliches Problem angewandt. Die Hülfsätze 4-6, 8, 9 sind dementsprechende Übertragungen der \textit{Landau}schen, während die Hilfssätze 1-3 ebenso wie \(4'-6', 8', 9'\) im zweiten Teil fast wörtlich aus den \textit{Landau}schen Arbeiten übernommen sind.