Über die Grundlagen einer neuen Theorie der quadratischen Zahlkörper. (Q1472959)

In der Vorrede zu seiner ``Zahlentheorie'' (F. d. M. 44, 203 (JFM 44.0203.*), 1913) hat der Verf. darauf hingewiesen, daß die in jenem Werke durchgeführte Untersuchung der Ringe aller \(g\)-adischen Zahlen und ihre Reduktion auf die zugehörigen Zahlkörper die einzige Aufgabe ist, welche die lementare rationale, aber auch die höhere algebraische Zahlentheorie darbietet. In der vorliegenden Abhandlung löst er diesse Aufgabe für den einfachsten Fall den algebraischen Zahlen, den allgemeinen quadratischen Zahlkörper. Der erste Paragraph bringt die Untersuchung der Zahlen von \(K(\delta)\) für den Bereich von \(g\) (vgl. das angeführte Referat) und behandelt den Ring \(R(g,\delta)\) der \(g\)-adischen Zahlen und seine vollständige Zerlegung in Zahlkörper. Die Untersuchung aller Zahlen des Zahlkörpers \(K(\delta)\) für den Bereich einer beliebigen Grundzahl \(g\) wird vollständig zurückgeführt auf die Untersuchung aller dieser Zahlen für eine beliebige Stelle \(\mathfrak p\), und diese Untersuchung der Zahlen eines Körpers für den Bereich einer Stelle \(\mathfrak p\) bildet dann den Gegenstand des zweiten Paragraphen. ``Eine Zahl \(\alpha\) ist stets und nur dann für eine Stelle \(\mathfrak p\) eine ganze algebraische Zahl, wenn ihre Norm für jene Stelle eine ganza rationale Zahl ist. Aus diesem Satze fließt eine Fülle von Folgerungen für den Fall einer Stelle erster Ordnung, welche mit den entsprechenden Sätzen für die rationalen \(p\)-adischen Zahlen übereinstimmen, und die uns sofort zu einer naturgemäßen Darstellung aller Zahlen \(\alpha\) für eine Stelle \(\mathfrak p\) führen.''