Die Exponentialdarstellung der Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers für den Bereich eines Primdivisors. (Q1472960)

In der ``Theorie der algebraischen Zahlen'' (1908) hat der Verf. gezeigt, daß jede algebraische Zahl \(\alpha\) für den Bereich des Primteilers \(\mathfrak p\) eindeutig darstellbar ist in der Form: \[ (1)\quad \alpha=w_a\pi_a+w_{a+1}\pi^{a+1}+\cdots, \] wo \(\pi\sim p^{\frac{1}{e}}\) eine Primzahl für die Stelle \(\mathfrak p\) und \(p\) die zu \(\mathfrak p\) gehörige reelle Primzahl ist: In deer ``Zahlentheorie'' (1913) hat er dann für den Körper der rationalen Zahlen nachgewiesen, daß aus \[ (3)\quad \alpha=w_a\pi^a+w_{a+1}\pi^{a+1}+\cdots \] folgt, es lasse sich \(\alpha\) auch so schreiben: \[ (3^{\text{a}})\quad \alpha=p^aw^be^c(p). \] Für den Bereich der geraden Primzahl 2 liegen diese Verhältnisse etwas anders; es folgt für jede rationale Zahl \(\alpha\) die eindeutige Exponentialdarstellung \[ (3^{\text{b}})\quad \alpha=2^a(-1)^be^c(2). \] ``Es liegt nun nahe, auch für die algebraischen Zahlen im Bereiche von \(\mathfrak p\) eine entsprechende Exponentialdarstellung zu suchen, um dann mit Hülfe derselben ihre Eigenschaften in bezug auf diesen Primfaktor \(\mathfrak p\) ebenso einfach abzuleiten, wie dies a. a. O. für die Beziehungen der rationalen Zahlen zu einer reellen Primzahl geschehen konnte. Dies gelingt nun auf höchst einfache Weise für fast alle Primteiler genau ebenso wie vorher in \((3^a)\) für die ungeraden reellen Primzahlen. Nur die Primfaktoren von einer endlichen Anzahl von reellen Primzahlen, welche ihrer Größe nach unter einer gewissen, von den betreffenden Körper abhängigen, leicht angebbaren Grenze liegen, machen eine Ausnahme von genau der gleichen Art wie die Zahl 2 im rationalen Zahlkörper, und zwar aus genau dem gleichen Grunde. Allein deshalb nehmen diese Primteiler in der Arithmetik deer algebraischen Zahlkörper dieselbe interessante Ausnahmestellung ein wie die Zahl 2 in der elementaren Arithmetik.''