Untersuchung der Zahlen eines algebraischen Körpers für den Bereich eines beliebigen Primdivisors. (Q1472961)

In dieser Arbeit untersucht der Verf. die Zahlen irgendeines algebraischen Körpers \(K(\alpha)\) für den Bereich eines beliebigen Primteilers \(\mathfrak p\) und gibt für sie dieselbe Exponentialdarstellung, wie sie für die rationalen Zahlen in bezug auf eine reelle Primzahl gibt. Es ergibt sich so, daß auch in diesem allgemeinsten Falle jede algebraische Zahl \(\alpha\) für den Bereich irgendeines Primteilers \(\mathfrak p\) einen eindeutig bestimmen Logarithmus \(\text{lg}_{\mathfrak p}(\alpha)\) besitzt, und daß alle Fragen in der Theorie der Potenzreste durch Einführung eben dieser Logarithmen in höchst einfacher und völlig allgemeiner Weise behandelt werden können. Insbesondere erhält man wohl zum ersten Male eine einheitliche Theorie der Primitivzahlen für die Potenzen eines Primteilers \(\mathfrak p\), deren Fehlen in der höheren Zahlentheorie \textit{Hilbert} in seinem ``Zahlbericht'' (S. 193) hervorgehoben hat. \S\,1. Die zu den Einseinheiten gehörigen Hauptlogarithmen. \S\,2. Die Beziehungen zwischen den Einseinheiten und ihren Hauptlogarithmen. Die Einheitswurzeln des Bereiches \(K(\mathfrak p)\). \S\,3. Die Darstellung aller Logarithmen eines Körpers \(K(\mathfrak p)\) durch ein Fundamentalsystem. \S\,4. Exponentialdarstellung der Einseinheiten. \S\,5. Beispiele. Untersuchung des Körpers \(K(1)\) der rationalen Zahlen und des allgemeinen quadratischen Zahlkörpers \(K(\sqrt{D})\).