On the analytic number theory of definite quadratic forms. (On lattice points in a multidimensional ellipsoid). (Q1472995)

Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind bereits für den Kreis (Form \(u^2+v^2\)) teilweise neu, für die Ellipse (definite Form \(a_{11}u^2+2a_{12}uv+a_{22}v^2\)) bei nicht kommensurablen Koeffizienten ganz neu, für das \(k\)-dimensionale Ellipsoid (definite Form \(\varSigma_{\mu,\nu=1}^ka_{\mu,\nu}u_{\mu}u_{\nu}\)) schon bei ganzzahligen Koeffizienten schärfer als das bisher Bekannte. Und auch für die bekannten Spezialfälle ist die neue Beweismethode viel kürzer als die alten Beweise. Das einfachste Probrlm, das in den Untersuchungen steckt, lautet: Wie viele Gitterpunkte gehören dem Kreis (1) \(u^2+v^2\overset{=}{<}x\) an, d. h. wie viele Paare ganzer Zahlen \(u,v\) erfüllen die Relation (1)? Wenn \(A(x)\) die betreffende Zahl bezeichnet, so ist fast trivial, daß (2) \(A(x)=\pi x+O(\sqrt{x})\) (Fläche des Kreises plus Fehler von der Ordnung des Randes) ist. Und es ist einer der tiefsten Sätze der analytischen Zahlentheorie, daß (3) \(A(x)=\pi x+o(\sqrt{x})\) und sogar (4) \(A(x)=\pi x+O(\root{3}\of{x})\) ist. Es handelt sich jetzt um eine Verallgemeinerung des Gebiets (1) nebst zugehöriger Anzahlfunktion \(A(x)\) nach fünf Richtungen gleichzeitig: 1. Ellipse statt Kreis. 2. \(k\)-dimensionales Ellipsoid statt Ellipse: \(Q(u_1,\dots,u_k)=\varSigma_{\mu,\nu=1}^ka_{\mu,\nu}u_{\mu}u_{\nu} \;(a_{\mu,\nu}=a_{\nu,\mu})\), deren Determinante \(| a_{\mu,\nu}|=D\). An die Stelle von (1) tritt also (5) \(Q(u_1,\dots,u_k)\leqq x\). 3. Die \(a_{\mu,\nu}\) dürfen beliebige reelle Zahlen sein (nicht notwendig ganzzahlig; nur muß \(Q\) definit positiv sein). 4. \(u_1,\dots,u_k\) brauchen nicht alle Gitterpunkte des Gebietes (5) zu durchlaufen, sondern nur diejenigen, welche überdies die Kongruenzen (6) \(u_1\equiv z_1\) (mod. \(M_1\)), \dots, \(u_k\equiv z_k\) (mod. \(M_k\)) erfüllen, wo \(M_1,\dots,M_k\) positive ganze Zahlen und \(z_1,\dots,z_k\) ganze Zahlen sind. \(A(x)\) bedeutet also die Anzahl der Punkte des Ellipsoid (5), die die Kongruenzen (6) erfüllen. 5. Jeder Punkt, der (5), (6) genügt, darf zur Bildung der Summen \(A(x)\) mit dem Gewicht, \(e^{2\pi i(h_1u_1+\dots+h_ku_k)}\) belastet werden, wo \(h_1,\dots,h_k\) gegebene reelle Zahlen sind. Die früher schon bekannten Abschätzungen für die Zahl \(A(x)\) werden jetzt zu dem Ergebnis verschärft: \[ (10)\;A(x)=\alpha x^{\frac12k}+O(x^{k(k-1)/2(k+1)}). \] Spezialfälle von (10) sind vom Verf. für die zweidimensionale Ellipse und von \textit{D. Cauer} in seiner Dissertation für die dreidimensionale Kugel und das Gewicht 1 ohne die Kongruenzbedingungen (6) behandelt worden.