Cubic number fields and cubic form classes (Q1472998)

Versucht man die Zerlegung einer Primzahl in Primideale mit Hülfe der Theorie der Kongruenzen durchzuführen, so stö{ss}t man auf eine eigentümliche Schwierigkeit, die von der möglichen Existenz eines gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteilers herrührt und in jedem einzelnen Falle besondere Betrachtungen nötig macht. Bei Verwendung der Methode der Unbestimmten stößt man andrerseits auf Formen von \(n\) Variabeln (\(n\)=Grad des Körpers), deren kongruente Zerlegung sich für \(n>2\) nicht auf Kongruenzen einer Variablen zurückführen läßt. Für die kubischen Zahlkörper läßt sich nun, wie der Verf. zeigt, diese Schwierigkeit vollkommen beseitigen, wenn man statt einer kubischen Gleichung eine gewisse binäre kubische Form der Kongruenzbetrachtung zugrunde legt. Es besteht nämlich eine enge eindeutige Beziehung zwischen den acht ursrünglichen Formenklassen und den Zahlkörpern vom Grade 3. Man kann sogar die Theorien dieser beiden Arten mathematischer Gebilde als identisch betrachten, solange man sich auf die Eigenschaften, die konjugierten Zahlkörpern gemeinsam sind (also die rein zahlentheoretischen), beschränkt. Nach Darlegung der erwähnten Zuordnung von Körpern und Formenklassen wird ein elementares, ausnahmelos gültiges Verfahren zur Zerlegung einer Primzahl in Primideale durch Kongruenzverfahren angegeben. Ferner werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines gemeinsamen außerordentlichen Diskriminantenteilers aufgestellt, und endlich werden verschiedenen Disriminantensätze von \textit{Dedekind} und \textit{Minkowski} elementar abgeleitet und teilweise erg''anzt, die sonst mit tiefgründigen idealtheoretischen Betrachtungen oder mit analytischen Hülfsmitteln bewiesen werden. \S 1. Die zu einem kubischen Körper gehörige Formenklasse. \S 2. Zerlegung einer Primzahl in Primideale. \S 3. Der größte gemeinsame Diskriminantenteiler. \S 4. Die Körperdiskriminante.