Sur un nouveau mode de développement d'un nombre en fraction continue. (Q1473002)

Es sei \(n\) eine gegebene ganze positive Zahl. Man nehme eine beliebige reelle und positive Zahl \(A_1\) an, und es sei \(a_1\) die ganze positive Zahl, welche die \(n\)-te Wurzel aus \(A_1\) vorstellt, mit einem Fehlbetrage, der kleiner als 1 ist, also \(a_1^n\leqq A_1<(a_1+1)^n\). Der Rest \(R_1\) dieser Operation: \(A_1=a_1^n+R_1\) ist derartig, daß \(R_1^n<(a_1+1)^n-a_1^n\) ist. Wäre \(A_1\) kleiner als 1, so nähme man \(a_1=0\). Setzt man also \(R_1=[(a_1+1)^n-a_1^n]/A_2\), so ist die Zahl \(A_2\) größer als 1. Man hat also \[ (1)\quad A_1=a_1^n+\frac{(a_1+1)^n+a_1^n}{A_2}. \] Durch Wiederholung derselben Operation mit \(A_2\) erhält man \[ (2)\quad A_2=a_2^n+\frac{(a_2+1)^n+a_2^n}{A_3}. \] So kann man fortfahren und kommt zu dem Ergebnis: Jede Zahl \(A_1\) ist, und zwar auf eine einzige Art, in einen Kettenbruch nach \(n\)-ten Wurzeln entwickelbar: \[ A_1=a_1^n+\frac{(a_1+1)^n-a_1^n}{a_2^n+\frac{(a_2+1)^n-a_2^n }{a_3^n+\frac{(a_3+1)^n-a_3^n}{a_4^n+\dots}}}. \] wo die \(a_1,a_2,\dots,a_{\nu},\dots\) ganze positive Zahlen sind, von denen die erste \(a_1\) allein Null sein kann. Für \(n=1\) erhält man die Kettenbrüche der Elemente. Für \(n=2\) erhält man die Kettenbrüche mach Quadraten: \[ A_1=a_1^2+\frac{2a_1+1}{a_2^2+\frac{2a_2+1}{a_3^2+\dots}}, \] von denen der Verf. im Intermédiaire des Math \textit{20}, 169 (1913) Beispiele gegeben hatte. -- Statt die \(a_{\nu}\) als \(n\)-te Wurzeln mit einem Fehlbetrage \(<1\) zu verwenden, kann man auch Zahlen \(b_{\nu}\) mit einem Mehrbetrage \(<1\) benutzen und erhält dann: \[ A_1=\frac{b_1^n-(b_1-1)^n}{b_2^n-\frac{b_2^n-(b_2-1)^n}{b_3^n- \dots}}. \]