La périodicité du hasard. (Q1473014)

Es handle sich um ein gerechtes Spiel zweier Spieler A und B; die zufälligen Abweichungen bedeuten Gewinn oder Verlust. Nach \(\mu_1\) Spielen wird z. B. der Spieler A eine Summe \(x\) gewonnen haben, B die gleiche Summe verloren haben; nach weiteren \(\mu\) Spielen möge der Fall eintreten, daß die Spieler ``quitt'' sind; \(\mu_1+\mu\) heißt dann die ``Periode''. Die Wahrscheinlichkeit, daß bei beliebigem \(x\) das Spiel genau nach \(\mu_1+\mu\) Spielen aus ist, ist \(\frac{1}{\pi}\,\sqrt{\frac{\mu_1}{\mu}}\,\frac{d\mu}{\mu_1+\mu}\); Wahrscheinlichkeit, daß spẗestens nach Ablauf von \(\mu_1+\mu\) Spielen das Spiel ``quitt'' wird, beträgt \(P=\frac{2}{\pi}arc tg\sqrt{\frac{\mu}{\mu_1}}\). (Für \(\mu_1=\mu\) ist sie 1/2; man hat hier eine Illustration von ``wie gewonnen, so zerronnen''.) Für \(P=0,999\) ist \(\mu=400 000 \mu_1\), d. h. nach \(\mu_1=100\) Partien müssen noch \(\mu=40\) Millionen gespielt werden, um mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit \(P\) den Verlust dieser ersten 100 Partien wieder einzuholen. Die mittlere Dauer der Periode ist unendlich, die wahrscheinliche Dauer \(2\mu_1\).