Bestimmung des güntigsten Zielpunktes. (Q1473047)

Gegeben ist eine irgendwie durch eine Linie \(k\) begrenzte ebene Zielscheibe senkrecht zur Schußrichtung; gesucht sind die Koordinaten \(\xi_0,\eta_0\) des günstigsten Zielpunktes \(P_0\). Die Genauigkeit des Schützen \(h\) sei bekannt, die Wahrscheinlichkeit \(W\), daß die Scheibe überhaupt getroffen wird, ist eine Funktion der Koordinaten \(\xi,\eta\) des Zielpunktes \(P\). Damit \(P=P_0\) der günstigste Zielpunkt sei, müssen die Koordinaten \(\xi_0,\eta_0\) die notwendigen Bedingungen erfüllen: \(\left( \frac{\partial W}{\partial\xi} \right)_0=\left( -\frac{h^2}{\pi}\int_{(k)}e^{-h^2\varrho^2}dy \right)_0=0\) und \(\left( \frac{\partial W}{\partial\eta} \right)_0=\left( +\frac{h^2}{\pi}\int_{(k)}e^{-h^2\varrho^2}dy \right)_0=0\), wobei \(\varrho^2=(x-\xi)^2(y-y)^2\). Die \(\xi_0,\eta_0\) können nur durch ein Näherungsverfahren ähnlich der Regula falsi bestimmt werden, das für den Fall, daß \(k\) ein geradliniges Vieleck ist, mit Hülfe der Tabelle der Werte des Fehlerintegrals leicht durchgeführt werden kann. Eine wesentliche Hülfe leistet eine dynamische Umdeutung des Problems, indem \(\frac{\partial W}{\partial\xi}\) und \(\frac{\partial W}{\partial\eta}\) als Komponenten \(X\) und \(Y\) einer Kraft \(R\) aufgefaßt werden, die von der Form des Randes abhängt. Falls aber der Rand krummlinig ist, kann man zwei neue geschlossene Kurven \(k_1\) und \(k_2\) definieren: \({\mathfrak x}_1=\frac{h^2}{\pi}e^{-h^2\varrho^2},\;{\mathfrak n}_1=y\); und: \({\mathfrak x}_2=x,\;{\mathfrak n}_2=\frac{h^2}{\pi}e^{-h^2\varrho^2}\), welche durchlaufen werden, wenn \(x,y\) den Rand \(k\) durchlaufen. \(-X\) und \(-Y\) sind dann die Flächeninhalte der Kurve \(k_1\) und \(k_2\), welche mit dem Planimeter bestimmt werden. Je größer die Genauigkeit \(h\) des Schützen ist, desto weniger scharf wird die Bestimmung des günstigsten Zielpunkts. Ein schlechter Schütze zielt am besten auf den Schwerpunkt der Schreibe, wenn er die Scheibe überhaut noch treffen will.