Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Schluß.). (Q1473100)

Über den \textit{ersten Teil} dieser umfangreichen Arbeit ist schon F. d. M. \textit{44}, 287, 1913, ausführlich berichtet worden. Dort sind auch die den Ausgang bildenden Problemstellungen und die weiteren Ziele der ganzen Arbeit bezeichnet. In dem \textit{zweiten} Teil (= Abschnitt V) gibt nun \textit{Steinitz} als zweiten Beweis des in Rede stehenden Hauptsatzes über den Summenbereich einer beliebigen konvergenten Reihe \(n\)-dimensionaler komplexer Zahlen denjenigen Beweis wieder, den er ursprünglich (1905) dafür gefunden hat und den er nur wegen seiner nahen Verwandtschaft zu dem damals gerade erschienenen (aber unvollständigen) Beweise von \textit{P. Lévy} (s. a. a. O.) nicht veröffentlicht hatte. Als Vorbereitungen für den Beweis dienen weitere ausführliche Untersuchungen über konvexe Systeme, die durchaus selbständigen Charakter haben und deren Anwendung auf das vorliegende Reihenproblem doch in gewissem Sinne nur als zufällig angesehen werden muß: \S\ 17 Strahlsysteme; \S\ 18 Strahlsysteme verschiedener Stufe; \S\ 19 konvexe --, \S\ 20 allseitige --, \S\ 21 relativ allseitige Strahlsysteme. \S\S\ 22-25 behandeln dann das Reihenproblem; \S\ 22 Reihen von entschiedener Divergenz; \S\ 23 Ineinanderschieben von Reihen; \S\ 24 Hauptstrahlen einer Zahlenmenge; \S\ 25 zweiter Beweis des Theorems B im Abschnitt IV, d. h. desjenigen Theorems, auf den der Reihensatz im wesentlichen hinauslief und dessen Beweis die wesentlichsten Schwierigkeiten in IV gemacht hatte. Es ist der Satz, der die unmittelbarste Übertragung des \textit{Riemann}schen Satzes über den Summenbereich einer reellen Reihe auf denjenigen einer komplexen Reihe bedeutet, nämlich der Satz: Eine komplexe Reihe \(\varSigma\gamma_n\) kann dann und nur dann durch Umordnung in eine andere mit beliebig vorgeschriebener Summe verwandelt werden, wenn \(\gamma_n\to 0\) strebt und wenn die Menge \(\varGamma\) aller Zahlen, die als Summe \textit{endlich} vieler Glieder \(\gamma_n\) erhalten werden können, total unbeschränkt ist, d. h. in keinen Halbraum eingeschlossen werden kann; -- oder also dann und nur dann, ``wenn das abzählbare elementare System \(\varGamma\) aller Reihenglieder nur Divergenzrichtungen besitzt''. Zum Schluß wird auf die \textit{Lévy}sche Arbeit genau eingegangen und gesagt, in welchen Punkten sich ihr Beweis mit dem \textit{Steinitz}schen deckt und an welchen Stellen er wesentliche Lücken aufweist. Der \textit{dritte} Teil der Arbeit (=Abschnitte VI und VII) verläßt das Reihenproblem vollständig und erweitert und vertieft die Untersuchungen über konvexe Systeme. Zur Andeutung der Richtungen, in denen dies geschieht, müssen wir uns mit der Aufzählung der Überschriften begnügen: Abschnitt VI: Konvexe Körper. \S\ 26: Innere Punkte und Begrenzung; \S\ 27: Konvexe Körper; \S\ 28: Relativ innere Punkte, relativ schneidende Mannigfaltigkeiten; \S\ 29: Tangenten eines konvexen Körpers. Abschnitt VII: Die konvexen Gebilde der \textit{projektiven} Geometrie. \S\ 30: Grundbegriffe der projektiven Geometrie; \S\ 31: Abgeschlossene und konvexe Punktmengen im projektiven Raum; \S\ 32: Der projektive Raum als Erweiterung des \textit{Euklid}ischen.