Über das Verhalten von Potenzreihen mit zwei und drei Veränderlichen an der Konvergenzgrenze. (Q1473114)

In dieser umfangreichen Arbeit wird der ganze Problemenkreis, zu dessen Entstehung der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz Veranlassung gegeben hat, also der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz selbst und seine zahlreichen Erweiterungen und Umkehrungen auf Potenzreihen mit zwei und Veränderlichen zu übertragen begonnen. In dieser Richtung waren bisher erst einige wenige Sätze von \textit{Bromwich} und \textit{Hardy} in den Lond. M. S. Proc. (2) \textit{1}, \textit{2} und \textit{6} ausgesprochen worden. Jetzt wird nicht nur der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz selbst, sondern auch seine Verallgemeinerung und Vertiefungen von \textit{Frobenius, Hölder, Pringsheim} u. a. auf der einen Seite, von \textit{Stolz} u. a. auf der anderen Seite, sowie seine Umkehrungen von \textit{Tauber, Landau} u. a. auf Potenzreihen mit mehreren Veränderlichen übertragen. Es würde viel zu weit führen, wollten wir alle diese Sätze hier formulieren und die Besonderheiten erwähnen, die sie gegenüber den Sätzen bei gewöhnlichen Potenzreihen aufweisen. In einer ausführlichen Einleitung wird über alles dies Rechenschaft gegeben, und wir begnügen uns daher hier mit der Wiedergabe des Inhaltsverzeichnisses: I. Der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz für Doppelreihen. \S\ 1. Erklärung der Bezeichnungen. \S\ 2. Gleichmäßige Konvergenz einer Doppelreihe. \S\ 3. Der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz. \S\ 4. Der \textit{Cauchy-Jensen}sche Grenzwertsatz. \S\ 5. Erweiterung des \textit{Abel}sche Grenzwertsatzes auf Reihen mit arithmetischem Mittel. (Anmerkung: Der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz für die Zeilereihe.) II. Der \textit{Abel}sche Grenzwertsatz für dreifache Reihen. \S\ 6. Vorbereitende Sätze: Allgemein geltende Grenzwertsätze. Klassifikation der Doppelreihen. \S\ 7. Notwendige und hinreichende Bedingungen für den \textit{Abel}sche Grenzwertsatz. III. Die Umkehrung des \textit{Abel}sche Grenzwertsatzes für Doppelreihen. \S\ 8. Der Fall gleichbezeichneter Koeffizienten. \S\ 9. Notwendige Konvergenzbedingungen für Doppelreihen. Transformationen. \S\ 10. Der \textit{Tauber}sche Satz.