Sur les séries de facultés. (Q1473125)

Die durch eine Fakultätenreihe \[ \varSigma\;\frac{s!a_s}{x(x+1)\cdots(x+s)} \] dargestellte Funktion \(\varOmega(x)\) braucht auf der Grenzgeraden der Konvergenzhalbebene (ihre Abszisse sei \(\lambda\)) keine Singularität zu haben. Verf. hat bewiesen (der Beweis ist nicht mitgeteilt), daß es eine Abszisse \(l\) gibt, die im allgemeinen \(<\lambda\) ist, mit der Eigenschaft, daß \(\varOmega(x)\) zwar in der Halbebene \(R(x)>l+\varepsilon\) noch regulär und beschränkt ist, aber nicht mehr in der Halbebene \(R(x)>l-\varepsilon\). Ferner: bewegt sich \(x\) in der Halbebene \(R(x)>l+\varepsilon\) irgendwie ins Unendliche, so streben dabei \(\varOmega(x)\) und alle Ableitungen dieser Funktion nach \(\frac{1}{x}\) gleichmäßig je einem Grenzwert zu. Endlich: Die analytische Fortsetzung von \(\varOmega(x)\) über die Gerade \(R(x)=\lambda\) hinaus bis zur Geraden \(R(x)=l\) kann folgendermaßen geleistet werden. Ist \(\omega>1\), so gestattet \(\varOmega(x)\) auch eine Entwicklung der Form \[ \varOmega(x)=\varSigma\;\frac{b_s}{x(x+\omega)(x+2\omega)\cdots(x+s\omega)}\,, \] in der die \(b_s\) lineare Verbindungen der \(a_s\) sind. Die Konvergenzabszisse \(\lambda(\omega)\) dieser neuen Reihe nimmt monoton bis zu \(l\) ab, wenn \(\omega\) ins Unendliche wächst.