Sur les séries de facultés et les méthodes de sommation de \textit{Cesàro} et de \textit{M. Borel}. (Q1473126)

Für die \textit{Dirichlet}sche Reihe \[ \varPsi(x)=\varSigma\;\frac{a_s}{s^x} \] und die Fakultätenreihe \[ \varOmega(x)=\varSigma\;\frac{s!a_s}{x(x+1)\dots(x+s)} \] hat \textit{Landau} (F. d. M. \textit{37}, 278, 1906) sehr nahe Konvergenzbeziehungen festgestellt, speziell daß ihre Konvergenzhalbebenen dieselbe Abszisse \(\lambda\) haben. Ebenso stimmen die Grenzabszissen der \textit{Bohr}schen Summabilitätshalbebenen überein und infolgedessen auch die Abszisse \(\varLambda=\lim\lambda_n\) der Summabilitätsgrenzgeraden. Während aber \textit{Bohr} zeigen konnte, daß diese Gerade für die analytische Natur von \(\varPsi(x)\) von großer Bedeutung ist, scheint dies bei \(\varOmega(x)\) nicht der Fall zu sein. Jedenfalls hat \textit{Nörlund} bewiesen (der Beweis ist aber nicht mitgeteilt), daß im allgemeinen \(\varLambda>l\) ist, wenn \(l\) die in dem vorigen Referat angegebene Bedeutung hat. Weiter wird noch gesagt, daß die \textit{Borel}sche Summationsmethode bei der Reihe \(\varOmega(x)\) im allgemeinen weiter reicht als die \textit{Cesàro}sche, nämlich bis zur Geraden \(R(x)=l\), -- und also ebensoweit wie die im vorigen Referat beschriebene Fortsetzungsmethode. Zum Schluß werden noch Bemerkungen zur Konvergenz des Produktes \(\varOmega_1(x)\cdot \varOmega_2(x)\) zweier Fakultätenreihen gemacht.