Note on \textit{Lambert}'s series. (Q1473129)

Die vorliegende Note schließt sich an die Arbeit von \textit{Knopp} ``Über \textit{Lambert}sche Reihen''(über die F. d. M. \textit{44}, 290, 1913 ausführlich berichtet wurde), insbesondere deren \S\ 2 an, in dem einen Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Franel} bewiesen wurde. Durch eine leichte Modifikation in der Fragestellung gelingt es dem Verf., diesen Satz noch weiter zu verallgemeinern und seien Beweis zu vereinfachen: Statt die Konvergenz aller \(k\) Reihen \(\sum_\nu \frac{a_{k\nu+l}}{k\nu+l}\,,\;(l=0,1,\dots,k-1)\) voraussetzen, wird nur die Konvergenz der einen Reihe \(\varSigma\frac{a_{k\nu}}{k\nu}\) gebraucht, während von der übrigen Reihen nur verlangt wird, daß \[ \sum_{\nu=1}^ma_{k\nu+l}=o(m) \] ist. Endlich wird gezeigt, daß es genügt, statt der Konvergenz die Summierbarkeit in Betracht zu ziehen, so daß es sich schließlich um folgenden \textit{Satz} handelt: ``Es existiere eine natürliche Zahl \(p\), so daß \(\varSigma\frac{a_{k\nu}}{k\nu}\) summierbar ist von der \(p\)-ten Ordnung (im Sinne \textit{Cesàros}) mit der Summe \(s\), und daß die \(p\)-ten \textit{Cesàro}schen Mittel der Reihen \(\varSigma a_{k\nu+l}\) die Abschätzung \(o(\nu^{p+1})\) gestatten. Dann ist \[ \lim_{r\to 1}(1-r)\varSigma a_n\;\frac{r^n}{1-r^n}=s.'' \] Einen Teil dieses Satzes hatte \textit{Hardy} schon in einer älteren Arbeit (s. F. d. M. \textit{38}, 292, 1907) ohne Beweis ausgesprochen.