A formula of trigonometric interpolation. (Q1473144)

In einer vorjährigen Arbeit (F. d. M. \textit{44}, 296, 1913) hatte Verf. zwei Formeln für trigonometrische Interpolation untersucht. Die zweite konnte zur Approximation stetiger Funktionen verwendet werden, die erste nicht. Dafür lieferte die erste ein trigonometrisches Polynom, das an den Interpolationsstellen die gegebenen Werte annahm, die zweite nicht. Jetzt wird eine Interpolationsformel gegeben, die beide Eigenschaften vereinigt (bei der aber die Ordnung des Interpolationspolynoms rund doppelt so hoch ist als bei den früheren Formeln): Ist \(f(x)\) eine Funktion mit der Periode \(2\pi\), die für alle reellen \(x\) definiert ist, und sind \(t_1,t_2,\dots,t_n\) irgendwelche äquidistanten Werte mit dem Abstand \(\frac{2\pi}{n}\), so ist \[ \tau_n(x)=\sum_{\nu=1}^nf(t_\nu )\;\frac{\sin^2[\frac12\,n(t_{\;nu}-x)]}{n^2\sin[\frac12(t_\nu -x)]} \] Das in Rede stehende Interpolationspolynom. -- Wie die gewöhnliche Interpolationsformel durch die Formel für die Teilsummen der \textit{Fourier}-Reihe für \(f(x)\), so ist diese durch die \textit{Fejér}sche Formel für das arithmetische Mittel der ersten \(n\) Teilsummen der \textit{Fourier}-Reihe nahe gelegt.