Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome. (Q1473149)

Die Arbeit bringt zunächst in \S\ 1 den Beweis für die in der vorstehend besprochenen Comptes Rendus-Note des Verfassers mitgeteilte trigonometrische Interpolationsformel \[ F(\varphi)=a_n \cos n\varphi+\frac{\cos n\varphi}{2n}\sum_{r=1}^{2n}F(\varphi_r)(-1)^rctg \frac{\varphi-\varphi_r}{2} \] (aus der die vorstehend zitierte Formel für \(F'(\varphi)\) durch Differentiation an der Stelle \(\varphi=0\) und Einführung einer neuen Variablen unmittelbar folgt) und leitet daraus in \S\ 2 den vorstehend gleichfalls schon genannten Satz von \textit{S. Bernstein} ab. -- In \S\ 3 wird die Formel (1) für ein sin- Polynom spezialisiert und daraus ein von \textit{Markoff} herrührender Satz hergeleitet: ``Ist das reelle Polynom \(n\)-ten Grades \(K(x)=\alpha_nx^n+\cdots+\alpha_0\) in \((-1,\dots,+1)\) überall dem Betrage nach \(\leqq M\), so ist daselbst auch stets \(| K'(x)|\leqq Mn^2\) und das Gleichheitszeichen gilt nur für das Polynom \(2M \cos (n \arccos x)\). In \S\ 4 werden mit Hilfe von Wurzelabschätzungen ein neuer, sehr einfacher Beweis des \textit{Bernstein}schen Satzes, eine kleine Erweiterung desselben und verwandte Resultate gegeben. In \S\ 5 werden die Resultate für die Untersuchung von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises nutzbar gemacht und insbesondere eine Verallgemeinerung des in der nachfolgenden Besprechung unter 4. genannten Satzes von \textit{Fejér} bewiesen. -- Der Raum verbietet es, die vielen schönen Einzelresultate der Arbeit hier besonders anzuführen.