Eine Erweiterung des \textit{de la Vallée Poussin}'schen Eindeutigkeitssatzes der Theorie der trigonometrischen Reihen. (Q1473157)

Der von \textit{de la Vallée Poussin} bewiesene, in F. d. M. \textit{43}, 320, 1912, angegebene Satz wird auf den Fall verallgemeinert, daß von der vorgelegten trigonometrischen Reihe nicht die Partialsummen selbst, sondern deren höhere arithmetische Mittel betrachtet werden. Es springt so der folgende Satz heraus: ``Wenn eine trigonometrische Reihe, deren allgemeines Glied gegen 0 strebt, Teilsummen hat, bei denen lim inf. und lim sup. der arithmetischen Mittel \(k\)-ter Ordnung, als Funktionen von \(x\) aufgefaßt, \textit{beinahe überall} endlich und summierbar sind, so ist sie eine \textit{Fourier}-Reihe''. Dabei soll ``beinahe überall'' heißen: in einer Menge, deren Komplementärmenge keine perfekte Teilmenge enthält. Beim Beweise wird die folgende Erweiterung des ``\textit{Riemann}schen Lehrsatzes'' gebraucht: ``Ist \(\varSigma A_n\) summierbar von der \(k\)-ten Ordnung mit der Summe \(S\) und strebt \(\frac{A_n}{n}\to 0\), so läßt sich eine Folge gegen 0 strebender Zahlen \(\alpha_i\) so wählen, daß \[ \sum_nA_n \left( \frac{\sin n\alpha_i}{n\alpha_i} \right)^2=S_i \] für jedes \(i\) konvergiert und daß \(S_i\to S\) strebt.'' -- Der Beweis dieses Hilfssatzes ist sehr mühsam.