On certain theorems in the theory of series of normal orthogonal functions. (Q1473160)

Ist \(\varphi_1(x), \varphi_2(x),\dots, \varphi_t(x),\dots\) ein System normierter Orthogonalfunktionen im Intervall 0 bis 1, so gibt es nach dem \textit{Rieß-Fischer}schen Satze zu jeder Zahlenfolge \(\{ c_t\}\) mit konvergenter Quadratsumme \(\sum_{t=1}^{\infty}c_t^2\) eine nebst ihrem Quadrat im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbare Funktion \(f(x)\) von der Beschaffenheit, daß \[ c_t=\int_0^1f(x)\varphi_t(x)dx\quad (t=1,2,3,\dots) \] ist. Über den Zusammenhang von \(f(x)\) mit der Reihe \[ (*)\quad \sum_{t=1}^{\infty}c_t\varphi_t(x) \] gegen nun bisher den weitgehendsten Aufschluß der Satz von \textit{Plancherel}, daß die Reihe \((*)\) fast überall im Intervall konvergiert, sobald \(\varSigma(log t)^3c_t^2\) konvergent ist (C. R. \textit{157}, 539; F. d. M. \textit{44}, 304, 1913), und der Satz von \textit{Weyl}, daß \((*)\) durch die ersten \textit{Cesàro}schen Mittel summierbar ist, sobald nur \(\varSigma(log t)c_t^2\) konvergiert (Math. Ann. \textit{67}, 225; F. d. M. \textit{40}, 310, 1909). Diese beiden Sätze werden vom Verf. aufs neue bewiesen, und zwar wird in beiden Beweisen von der schon in der \textit{Weyl}schen Arbeit erwähnten Tatsache Gebrauch gemacht, daß unter Voraussetzung der Konvergenz von \(\varSigma(\log t)\cdot c_t^2\) die in der Reihe \((*)\) von \(t=1\) bis \(t=2^m\) erstreckten Partialsummen bei \(m\to\infty\) fast überall im Intervall konvergieren.