Exemples de fonctions dérivées. (Q1473204)

Es handelt sich um die Konstruktion einer sehr allgemeinen Klasse von Derivierten, welche die Eigenschaft besitzen, in jedem noch so kleinen Intervall Werte beiderlei Vorzeichens anzunehmen. Aus der Konstruktion folgt zunächst, daß die Funktionen beschränkt und ``nahezu stetig'' sind. Nahezu stetig eine Funktion \(f(x)\) im Punkte \(x_0\), wenn für jedes \(\varepsilon>0\) die Menge \(M_{\varepsilon}\) derjenigen Werte \(x\), für welche \(| f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\) ist, im Punkte \(x_0\) die Dichtigkeit (épaisseur) 1 besitzt, d. h. Wenn derjenige Teil von \(M_{\varepsilon}\) welcher einem den Punkt \(x_0\) einschließenden Intervall angehört, ein Maß\ besitzt, dessen Verhältnis zur Intervallänge gegen 1 konvergiert, wenn sich das Intervall auf den Punkt \(x_0\) zusammenzieht. Es gilt der Satz, daß jede beschränkte, nahezu stetige Funktion eine Derivierte ist.