Über eine Verallgemeinerung der \textit{Riemann}schen Integraldefinition. (Q1473229)

\textit{É. Borel} hat vor einiger Zeit (C. R. \textit{150}, 375, 508, 1910; Journ. de Math. (6) \textit{8}, 201, 1912) eine Integraldefinition gegeben, die bei beschränkten Funktionen in manchen Fällen zum Ziele führt, in denen die \textit{Riemann}sche Definition versagt (sie liefert dann denselben Integralwert wie die Definition nach \textit{Lebesgue}, andererseits manchmal auf nicht unbedingt integrierbare (nicht beschränkte) Funktionen anwendbar bleibt, hier also über die \textit{Lebesgue}sche Definition hinausreicht. Es sei \(f(x)\) eine in dem Intervalle \((a,b)\) erklärte Funktion, \(\Re\) eine Menge von Maße Null in \((a,b)\), so daß, wenn \(\Re\) in irgendeine Menge \(I\) einander nicht überdeckender Intervalle eingeschlossen wird, \(f(x)\) vor allem in \((a,b)-I\) beschränkt ist. Ist \(a=x_0<x_1<\dots <x_n=b\) eine Zerlegung von \((a,b)\) in Teilintervalle, deren Endpunkte sämtlich in \((a,b)- I\) liegen, ist \(h_i\) gleich \(x_i-x_{i-1}\) vermindert um die Ggesamtlänge aller Intervalle \(I_i\) von \(I\), die in \((x_i- x_{i-1})\) fallen, ist \(\xi_i\) irgend ein Punkt in \(x_i-x_{i-1}\), so soll ferner \[ \wedge=\lim_{I=0}\lim_{n=\infty}\sum_{i=1}^{n}h_if(\xi_i)=\lim{I=0} \wedge_I \] existieren und unabhängig von der Wahl der Punkte \(x_i\), \(\xi_i\) \((i=1\dots,n)\) sein. \textit{Borel}, der übrigens \(\Re\) abzählbar annimmt, setzt \[ \wedge=\int_a^bf(x)dx. \] Der Verf. gibt notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von \(\wedge_I\) zeigt, daß, wenn \(f(x)\) beschränkt ist, aus der Existenz von \(\wedge\) diejenige des \textit{Lebesgue}schen Integrals folgt (beide haben denselben Wert). Das Umgekehrte ist nicht immer der Fall, doch läßt sich, wie weiter gezeigt wird, die \textit{Borel}sche Definition so modifizieren, daß sie (immer noch, wenn \(f(x)\) beschränkt ist) der \textit{Lebesgue}schen völlig äquivalent wird. Ist bei nicht beschränkter Funktion \(f(x)\) das \textit{Borel}sche Integral von \(| f(x)|\) vorhanden, so ist \(f\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbar (summable). Beide Definition ergeben denselben Wert für das Integral.