Théorème de la moyenne relatif aux intégrales des arcs. (Q1473256)

Es seien \(u\) und \(v\) zwei reelle Funktionen einer unabhängigen Variablen \(x\). Setzt man \(I_1=\int^b_a udx,\;I_2=\int^b_avdx\), so wird zuerst gezeigt, daß das Integral \(I=\int^b_adx\sqrt{u^2+v^2}\) immer zwischen \(0,7071(I_1+I_2)\) und \(I_1+I_2\) liegt. Setzt man also \(I=0,8535(I_1+I_2)\), so ist der hierbei begangene Fehler höchstens \(0,1465(I_1+I_2)\), erreicht also nicht 15\% des Wertes \(I_1+I_2\). Als Anwendung ergibt sich hieraus der folgende Satz: Wächst eine Kurve beständig in dem Intervalle \((a,b)\), so wird der Bogen \(s\) der Kurve in diesem Intervalle durch die Formel \(s=\varTheta[(b-a_+(y_b-y_a)]\) angenähert ausgedrückt, wo \(\varTheta\) zwischen \(0,7071\) und 1 liegt; bei abnehmender Kurve ist dagegen \(s=\varTheta[(b-a)-(y_b-y_a)]\). Hieraus werden noch einige spezielle Folgerungen gezogen, und dann wird ein entsprechender Satz für die Integrale zahlreicher Differentialgleichungen hieraus abgeleitet.