Distanzschätzungen im Funktionenraum I. (Q1473259)

Jede im Intervall 01 stetige Funktion \(\varphi\) werde als ein Punkt im Funktionenraum betrachtet. Er liegt auf der Einheitssphäre, wenn die Funktion normiert ist: \(\int^1_0\varphi^2 dx=1\). Für zwei normierte Funktionen \(\varphi, \psi\) ist der sphärische Abstand \(\vartheta\) erklärt durch \(\cos\vartheta =\int^1_0\varphi \psi dx\). Anfangs- und Endwert einer linearen nomierten Funktion sind notwendig \(=2\sin\vartheta\), bzw. \(2\sin(\frac{\pi}{3}-\vartheta)\), wo \(\vartheta\) einen Winkel zwischen 0 und \(\frac{\pi}{3}\) bezeichnet; diesere lineare Funktion werde mit \(\overline{\varphi}\vartheta\) bezeichnet. Für die Klasse der \textit{positiven konvexen} Funktionen gelten dann folgende Sätze: Die sphärische Distanz einer derartigen Funktion von \(\overline{\varphi}_{30^{\circ}}=1\) beträgt höchstens \(30^{\circ}\), die gegenstetige sphärische Distanz zweier solcher Funktionen also Funktionen also höchstens \(60^{\circ}\). Faßt man unter den positiven konvexen Funktionen insbesondere die monoton wachsenden ins Auge, so gilt schärfer: ihre sphärische Distanz von \(\overline{\varphi}_{15^{\circ}}\) ist höchstens gleich \(15^{\circ}\), die gegenseitige Distanz zweier solcher Funktionen also höchstens \(30^{\circ}\). Allgemeiner: der sphärische Abstand einer positiven konvexen Funktion \(\varphi\), die den beiden Randbedingungen \[ \varphi(0)\geqq 2 \sin \vartheta_0,\;\varphi(1)\geqq 2 \sin \left( \frac{\pi}{3}-\vartheta_1 \right) \] genügt, von der Funktion \(\overline{\varphi}_{\frac{\vartheta_0+\vartheta_1}{2}}\) ist höchstens gleich \(\frac{\vartheta_1-\vartheta_0}{2}\), der gegenseitige Abstand zweier solcher Funktionen also höchstens \(\vartheta_1-\vartheta_0\). Die angegeben oberen Grenzen sind jeweils die schärfsten ihrer Art und werden wirklich erreicht. -- Die Beweise werden erbracht durch Vergleich der gegeben Stücken mit einer solchen normierten Funktion, die aus zwei geradlinigen Stücken besteht; beide Kurven zusammen begrenzen drei Flächenstücke, deren Schwerpunkte konvexe Lage zueinander haben.