Über die Konvergenz des \textit{Picard}schen Verfahrens der sukzessiven Approxiamtion bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. (Q1473277)

\textit{Picard} hat gezeigt, daß man eine Differentialgleichung erster Ordnung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) mit der Anfangsbedingung \(y=b\) für \(x=a\) in folgender Weise durch sukzessive Approximation integrieren kann: Bildet man \[ y_{n+1}=b+\int^x_af(x,y_n)dx \] wo die erste Näherung \(y_0\) willkürlich gewählt werden kann, so konvergieren in genügender Nähe des Punktes \(x=a,y=b\) die Funktionen \(y_n\) mit wachsendem \(n\) gegen eine Grenzfunktion, die die Differentialgleichung befriedigt. Voraussetzung der Konvergenz und der Eindeutigkeit des Verfahrens ist dabei, daß \(f(x,y)\) in der Umgebung des Anfangspunktes endlich bleibt und der \textit{Lipschitz}schen Bedingung \[ | f(x,y_1)-f(x,y_2)|<N| y_1-y_2| \] genügt, wo \(N\) eine hinreichend groß zu wählende Konstante bedeutet. -- Was die Konvergenz des Verfahrens angeht, so sind die ursprünglich von \textit{Picard} gegebenen unteren Grenzen für das Intervall von \(x\), in dem das Verfahren konvergiert, von \textit{Lindelöf} u. a. erweitert worden (\textit{Painlevé}, Enz. d. mat. Wissensch. II A 4 a, 198 -200). Eine Ergänzung zu diesen Betrachtungen liefert der folgende Satz, den Verf. in der vorliegenden Arbeit beweist: ``Man führe als unabhägige Variable in der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) die Bogenlänge \(s\) der Integralkurve ein, indem man die Gleichung in der Form \[ \text{(I)}\quad \frac{dx}{ds}=g(x,y),\;\frac{dy}{ds}=h(x,y),\quad (g^2+h^2=1), \] schreibt. Setzt man dann von den reellen Funktionen \(g(x,y)\) und \(h(x,y)\) voraus, daß längs jeder Kurve in der \(xy\)- Ebene die Integrale \[ \text{(IIa)}\quad \int g(x,y)ds\;{\text{und}}\;\int h(x,y)ds \] existieren, so konvergiert das \textit{Picard}sche Verfahren solange, als die \textit{Lipschitz}schen Differenzenquotienten: \[ \text{(IIb)}\quad \left|\frac{g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)}{\sqrt{(x_2- x_1)^2+(y_2=y_1)^2}} \right|\;{\text{und}}\;\left|\frac{h(x_1,y_1)-h(x_2,y_2)}{\sqrt{(x_2- x_1)^2+(y_2=y_1)^2}} \right| \] für eine beliebig kleine, aber endliche Umgebung der Integralkurve endlich bleiben (\textit{Lipschitz}sche Bedingung). Der Satz gilt unverändert auch für Systeme von Differentialgleichungen. -- Hierzu ist zu bemerken, daß die Bedingungen (IIb) etwas mehr verlangen als die \textit{Lipschitz}sche Bedingung in der obigen Formulierung; während dort die Veränderlichkeit der für die Integralkurve vorgeschriebenen Richtung bloß für variables \(y\) bei konstantem \(x\) eingeschränkt wurde, wird sie jetzt für variables \(y\) und \(x\) beschränkt. Wesentlich ist aber, daß diese Bedingung nicht mehr für ein von vornherein gegebenes endliches Gebiet gestellt zu werden braucht, sondern bloß noch für die unmittelbare Umgebung der Integralkurve. Die Bedingung (IIa) ist notwendig, um die Existenz der Näherungskurven zu sichern; sie bedeutet keine wesentliche Einschränkung. -- Der Beweis wird vom Verf. sogleich für ein System von Differentialgleichungen in vektorieller Form geführt. Anstatt der Bogenlänge \(s\) kann irgend eine Funktion derselben \(g(s)\) als Parameter gewählt werden, vorausgesetzt, daß \(\frac{dg}{ds}\) nirgends Null werden kann; daß diese Bedingung notwendig ist, erkennt man, wenn man z. B. \(x\) als unabhängige Variable nimmt.