Ein neuer Existenzbeweis für die Integrale der Differentialgleichung \(y'=f(x,y)\). (Q1473278)

Verf. teilt in der vorliegenden Arbeit einen Existenzbeweis mit, der von der Funktion \(f(x,y)\) lediglich Stetigkeit fordert und wesentlich durchsichtiger scheint als die bisher für diesen Fall gegebenen Beweise (s. \textit{Painlevé}, Enzykl. d. math. Wiss. II A 4 a, \S\ 8). Dazu kommt der folgende weitere Vorteil: Bei allen bisher geführten Existenzbeweisen (mit und ohne \textit{Lipschitz}bedingung) wird die Funktion \(f(x,y)\) in einem Bereich \(| x-x_0|\leqq a,\;| y-y_0|\leqq b\) stetig vorausgesetzt, und wenn \(M\) das Maximum ihres absoluten Betrages ist, so erhält man die Integrale allemal nur in dem Bereich \(| x-x_0|\leqq \text{Min} \left(a, \frac{b}{M} \right) \). Demgegenüber liefert der Beweis des Verf. einen Existenzbereich, der i. a. erheblich größer ist und in der Praxis meist gestatten wird, die Integralkurven in ihrem \textit{gesamten} Verlauf zu verfolgen. Dabei beschränkt Verf. sich auf den Fall \(x-x_0>0\), da dann für den umgekehrten nur die Transformation \(x=-x'\) nötig ist. Formulierung des Existenztheorems (\S\ 1): Die Funktion \(f(x,y)\) sei stetig in einem Gebiet \(T\), das durch die Ungleichungen \(x_0\leqq x\leqq X,\;\omega_1(x)\leqq y\leqq\omega_2(x)\) definiert ist. Dabei sollen die Funktionen \(\omega_1(x),\omega_2(x)\) den folgenden Forderungen genügen: 1. Sie sind in dem Intervall \((x_0,X)\) stetig und nehmen für \(x=x_0\) den Wert \(y_0\) an. 2. Die vor- und rückwärts genommenen Differentialquotienten \(D_+\omega_i(x),D_-\omega_i(x)\) sind vorhanden und genügen den Ungleichungen \[ D\pm\omega_1(x)\leqq f(x,\omega_1(x)),\;D\pm\omega_2(x)\geqq f(x,\omega_2(x)). \] Unter diesen Voraussetzungen zeigt Verf., daß es im Intervall \((x_0,X)\) wenigstens eine Funktion \(y=y(x)\) gibt, die ganz im Gebiet \(T\) bleibt, so daß insbesondere \(y(x_0)=y+0\) ist, und die der Differentialgleichung \(y'=f(x,y)\) genügt. Der bekannte, oben erwähnte Existenzbereich ist in dem vom Verf. angegebenen enthalten. -- Verf. nennt stetige Funktion \(\varphi(x)\) bzw. \(\psi(x)\), die für \(x=x_0\) den Wert \(y_0\) annimmt und für \(x_0\leqq x\leqq X\) den Ungleichungen \(D\pm\varphi(x)<f(x,\varphi(x))\) bzw. \(D\pm\psi(x)>f(x,\psi(x))\) genügt, eine \textit{Unter-} bzw. \textit{Oberfunktion} und zeigt, daß für einen festen Wert von \(x\) die Funktionswerte der Unter- bzw. Oberfunktionen eine obere bzw. Untere Grenze \(g(x)\) bzw. \(G(x)\) besitzen und daß diese Funktionen Integrale der vorgelegten Differentialgleichung sind, und zwar die ``Minimal- bzw. Maximallösung'' (\S\S\ 2-6). Zwei Beispiele erläutern die Nützlichkeit des im \S\ 1. Angegebenen Existenzbereiches der Integrale (\S\ 7).