Abschätzungen in der Theorie der Differentialgleichungen. (Q1473279)

Wenn man in der Physik eine Differentialgleichung benutzt, kommt es nicht selten vor, daß man vor der Integration Glieder der Gleichung, die klein sind, in dem Vertrauen fortwirft, daß sie auch auf das Integral nur einen geringen Einfluß ausüben werden. Der Versuch, ein solches Vorgehen wirklich zu begründen, führt auf neue Fragestellungen. Verf. behandelt in der vorliegenden Arbeit die folgende: Es möge die reelle Funktion \(y\) der reellen Veränderlichen \(x\) der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=\varphi(x,y)\) genügen, während die Funktion \(z\) dieselbe Gleichung gewissermaßen näherungsweise erfüllt, so daß also \(\frac{dz}{dx}=\varphi(x,z)+\vartheta A\) ist, wo \(A\) eine feste absolute Zahl bedeutet, die gegebenenfalls klein angenommen wird, und \(-1\leqq \vartheta\leqq +1\) ist. Außerdem sollen für \(x=x_0\) die Anfangswerte \(y_0=z_0\) der Funktionen zusammenfallen. Es wird nun nach einer Grenze für den absoluten Betrag \(| z-y|\) gefragt, und es ergibt sich, falls für die in Betracht kommenden Zahlenpaare die \textit{Lipschitz}sche Bedingung \(|\varphi(x,y)-\varphi(x,\eta)|\leqq| y-\eta| K\) (\(K\) eine feste absolute Zahl) erfüllt ist: \[ | z-y| \frac{A}{K}(e^{K| x-x_0|}-1). \] Verf. gibt zwei Beweise dieses Satzes, deren erster, auf dem \textit{Cauchy}schen Verfahren zur Begründung seines Existenzsatzes beruhend, die Stetigkeit der Funktionen \(\varphi(x,y)\) und \(\vartheta(x)\) voraussetzt, während der zweite, obwohl erheblich einfacher, dieser Voraussetzung und auch einer so großen Einschränkung des Intervalls der unabhängigen Veränderlichen wie der erste nicht bedarf. -- Ein analoger Satz gilt für ein System von Differentialgleichungen.