\textit{Laplace}sche Integrale als Lösungen nicht linearer Differentialgleichungen. (Q1473302)

In der vorliegenden Arbeit wendet Verf. die \textit{Laplace}sche Transformation auf eine \textit{nicht lineare} Differentialgleichung erster Ordnung \[ (A)\quad x^{k+1}\frac{dy}{dx}+y=f(x,y) \] an, wo \(k\) eine ganze positive Zahl und \(f(x,y)=\varSigma A_{\lambda\mu}x^{\lambda}y^{\mu}\;(\lambda=1,\mu=0;\;\lambda+\mu\geqq 2)\) eine für hinreichend kleine Werte von \(| x|\) und \(| y|\) konvergente Potenzreihe ist (in seinen Arbeiten J. für Math. \textit{119} und \textit{141}, Math. Ann. \textit{51} hat Verf. diese Differentialgleichung nach anderen Methoden behandelt). Zunächst wird \(k=1\) angenommen. Eine ausgezeichnete partikuläre Lösung \(\eta\) der entsprechenden Differentialgleichung (A) wird als \textit{Laplace}sches Integral \[ \eta=\int_0^{\infty}w(t)e^{-\frac{t}{x}}dt \] dargestellt, wobei über die Gerade \(\text{arg\,}t=\omega(- \pi<\omega<\pi)\) intergiert wird. Für die Funktion \(w(t)\) ergibt sich eine \textit{nicht lineare Integralgleichung} vom \textit{Volterra}schen Typus, welche die nötigen Aufschlüsse über das Verhalten von \(w(t)\) gibt. (\S\S\ 1-4.) -- Für \(k>1\) erhält man \(k\) ausgezeichnete partikuläre Integrale \(\eta_m\;(m=0,1,\dots,k-1)\) von (A) in der Form \[ \eta_m=\sum_{p=0}^{k-1}x^p\int_0^{\infty}w_p(t)e^{- \frac{t}{x^k}}dt, \] wobei wieder die Gerade \(\text{arg\,}t=\omega(-\pi<\omega<\pi)\) als Integrationsweg benutzt wird. Diese Darstellung von \(\eta_m\) gilt in einem dem Sektor \[ \frac{2m\pi-\frac{3\pi}{2}}{k}<\text{arg}\, x<\frac{2m\pi+\frac{3\pi}{2}}{k} \] angehörigen Gebiet, und die Funktionen \(w_p(t)\;(p=0,1,\dots,k- 1)\) genügen einem System von nicht linearen Integralgleichungen (\S\S\ 5-7). Da die weitere Untersuchung dieser ausgezeichneten und der übrigen Integrale der Differentialgleichung (A) den Gegenstand einer späteren Arbeit bilden soll, so enthält \S\ 8 nur einige Bemerkungen über die Entwicklung der Integrale \(\eta\) und \(\eta_m\) in konvergente Fakultätenreihen und ihre asymptotische Darstellung durch die der Differentialgleichung (A) formal genügende divergente Potenzreihe.