Integration linearer Differentialgleichungen durch \textit{Laplace}sche Integrale und Fakultätenreihen. (Q1473303)

\textit{Poincaré} (American J. \textit{7}, Acta Math. \textit{8}) hat die \textit{Laplace}sche Transformation benutzt, um das Verhalten der Integrale einer linearen Differentialgleichung, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind, bei der Annäherung der Veränderlichen an die Unbestimmtheitsstelle \(x=\infty\) zu untersuchen (vgl. \textit{Horn}, Math. Ann. \textit{49}, \textit{50}, \textit{71}; Acta Math. \textit{74}). Lineare Differentialgleichungen, deren Koeffizienten analytisch, aber nicht rational sind, kann man mittels der \textit{Laplace}schen Transformation behandeln, indem man sie nach \textit{Birkhoff} (American M. S, Trans. 1909, 1913; Math. Ann. \textit{74}) durch eine lineare Transformation mit analytischen Koeffizienten auf Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten zurückführt oder indem man sie nach \textit{H. Hamburger} (Diss. München 1914; d. Bd. S. 481) aus Differentialgleichungen mit rationale Koeffizienten durch Grenzübergang herleitet, wobei als \textit{Laplace}sche Transformierte lineare Integralgleichungen vom \textit{Volterra}schen Typus erscheinen. Zu \textit{Volterra}schen Integralgleichungen gelangt man auch, indem man die Methode, die Verf. auf eine nichtlineare Differentialgleichung angewandt hat (J. für Math. \textit{144}, s. d. vorhergehende Ref.), auf lineare Differentialgleichungen überträgt. -- In der vorliegenden Arbeit führt Verf. ein System linearer Differentialgleichungen, welches \(x=\infty\) als Unbestimmtheitsstelle von höherem Rang hat, mittels der von \textit{Birkhoff} (a. A. O.) verallgemeinerten \textit{Laplace}schen Transformation auf ein System linearer \textit{Volterra}scher Integralgleichungen zurück; es ergibt sich so nicht nur die asymptotische Darstellung der Lösungen durch divergente Potenzreihen, sondern auch ihre Entwicklung in konvergente Fakultätenreihen (vgl. \textit{Horn}, Math. Ann \textit{71}).