Bestimmung der Koeffizienten in einer Funktionalgleichung nebst einer Anwendung. (Q1473342)

Die Funktionalgleichungssystem \[ (1)quad F_{n+1}-F_{n-1}=\pm 2D_xF_n\;(n>0),\;F_1=\pm D_xF_0\;(n=0), \] worin \(F_0,F_1,\dots,F_n\) Funktionen einer Veränderlichen \(x\) sind und \(D_xF\) die Ableitung von \(F\) nach \(x\) bedeutet, wird befriedigt durch \[ (2)\qquad F_n=(\pm 1)^n\sum_{\lambda=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right] }A_n^{\lambda}D_x^{n-2\lambda}F_0, \] worin \[ A_n^{\lambda}=2^{n-2\lambda-1}\left(\begin{matrix} n-\lambda \\ \lambda \end{matrix} \right) \frac{n}{n-\lambda} \] ist; zur Herleitung des Ausdruckes für \(A_n^{\lambda}\) wird in besonderen \(F_0=e^{x \text{\,sinh\,} z}\) bezüglich. \(e^{-x \sin \varphi}\) gesetzt. Die Reihe (2) läßt sich umkehren. Als erste Anwendung ergibt sich das bekannte Formelpaar: \[ 2\sum_{\lambda=0}^{n-1}\sin (2\lambda+1)\varphi=\frac{1-\cos 2n\varphi}{\sin \varphi},\;\sum_{\lambda=0}^n\varepsilon_{\lambda}\cos 2\lambda\varphi=\frac{\sin (2n+1)\varphi}{\sin \varphi}, \] \[ (\varepsilon^{\lambda}=2\;{\text{für}}\;\lambda>0,\;\varepsilon_0=1), \] und analoge für \(\sinh z\) und \(\cosh z\). Als weitere Anwendung wird die von \textit{C. Neumann} (Theorie der \textit{Bessel}schen Funktionen, 1867) eingeführte Funktion \(\overset{n} O(x)\), die ebenso wie die \textit{Bessel}sche Funktion von ganzzahligem Index \(n\) den Gleichungen (1) (mit dem Minuszeichen) genügt, auf einfache Weise abgeleitet und ihr Ausdruck bestimmt. -- In ganz ähnlicher Weise läßt sich das System \[ (3)\quad F_{n+1}-F_{n-1}=\pm 2D_xF_n\;(n>1),\;F_2=\pm 2D_xF_1\;(n=1) \] behandeln; hier ergeben sich als Anwendungen die Formeln \[ 2\sum_{\lambda=0}^{n-1}\cos (2\lambda+1)\varphi=\frac{\sin 2n\varphi}{\sin \varphi},\;2\sum_{\lambda=0}^n \sin 2\lambda\varphi=\frac{\cos \varphi-\cos (2n+1)\varphi}{\sin \varphi} \] und analoge für \(\sinh z\) und \(\cosh z\), sowie die elementare Ableitung und Bestimmung der den Gleichungen (3) (mit dem Minuszeichen) genügenden, von \textit{L. Schläfli} (Math. Ann. \textit{3}, 134) eingeführten Funktionen \(\overset {n} S^n(x)\) und \(T^n(x)\).