Sulle equazioni alle derivate funzionali. -- Equazioni integro-differenziali ed equazioni alle derivate funzionali. (Q1473423)

\textit{Volterra} hat in früheren Arbeiten (vgl. etwa die zusammenfassende Darstellung in seinen Leçons sur les fonctions de lignes, Paris 1913, Chap. II) den Begriff der Ableitung einer von den sämtlichen Werten einer Funktion \(f(x)\) im Intervalle \(0\leqq x\leqq 1\) abhängigen Größe \(F|[f(\overset {1}{\underset {0} x})]|\) in bezug auf den Wert \(f(\xi)\) gebildet, die er mit \(F'|[f(x),\xi]|\) bezeichnet; er beginnt in den vorliegenden Noten die einfachsten Klassen von Funktionen systematisch zu betrachten, das sind Bedingungen, in die jene Ableitungen eingehen. Es besteht vollkommen formale und sachliche Analogie zu den entsprechenden Problemen der partiellen Differentialgleichungen für Funktionen von \(n\) Veränderlichen; so wird z. B. Die lineare funktionale Differentialgleichung erster Ordnung \[ (1)\quad \frac{\partial F|[\alpha, f(x)]|}{\partial\alpha}+\int_0^1\varOmega |[f \overset {1}{\underset {0} x},\alpha,\xi]| F'| [f(\overset {1}{\underset {0} x}),\alpha,\xi]| d\xi=0, \] wo \(\varOmega\) eine gegebene Funktion aller Werte \(f(x)\), etwa \(=\int_0^1\varphi(\xi,x)f(x)dx\), und \(\alpha\) ein Parameter ist, zurückgeführt auf die Integrodifferentialgleichung \[ (2)\qquad \frac{\partial f(\xi,\alpha)}{\partial\alpha}=\varOmega|[f(\overset {1}{\underset {0} x},\alpha),\xi] |, \] genau wie man die partielle Differentialgleichung \[ (1')\quad \frac{\partial F(\alpha,f_1,\dots,f_n)}{ \partial \alpha}+\sum_{n=1}^n\varOmega_i(f_1,\dots,f_n)\frac{\partial F}{\partial f_i}=0 \] auf das System von \(n\) gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordung \[ (2')\quad \frac{\partial f_i(\alpha)}{\partial\alpha}=\varOmega_i(f_1,\dots,f_n) \] zurückführt. Wird nämlich die für \(a=0\) in die willkürlich vorgeschriebene Funktion \(\psi(\xi)\) -- die an Stelle der Integrationskonstanten von (2') tritt -- übergehende Lösung von (2) in der Form \[ \psi(\xi)=f(\xi)+\theta|[f(\overset {1}{\underset {0} x}),\alpha,\xi]| \] dargestellt, so werden sämtliche Lösungen von (1) durch den Ausdruck \[ \varPhi|[\psi(\overset {1}{\underset {0} \xi})]|=\varPhi\left| \left[ f(\xi)+\theta|[f(x),\alpha,\xi]| \right] \right| \] gegeben, wo \(\varPhi\) eine willkürliche Funktion aller Werte \(\psi(\xi)\) bedeutet -- hinreichend reguläres Verhalten natürlich vorausgesetzt. In ähnlicher Weise wird für lineare Funktionale Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine der ``Grundlösung'' entsprechende ausgezeichnete Lösung angegeben und schließlich ein den kanonischen Gleichungen der Mechanik genau entsprechendes System zweier Integrodifferentialgleichungen im Zusammenhang mit einer nichtlinearen funktionalen Differentialgleichung erster Ordung behandelt, die der \textit{Jacobi-Hamilton}schen Gleichung der Mechanik entspricht.