Zur Theorie der \textit{Monge-Ampère}schen Differentialgleichungen mit drei unabhängigen Veränderlichen. (Q1473451)

Um zur \textit{Monge-Ampère}schen Gleichung mit drei unabhängigen Veränderlichen zu gelangen, geht Verf. von dem System totaler Differentialgleichungen aus: \[ \sum_{i=1}^3a_idx_i\sum_{i=1}^3\alpha_idp_i=0,\;\sum_{i=1}^3b_idx_i\sum_{i=1}^3\beta_idp_i=0, \] \[ \sum_{i=1}^3c_idx_i\sum_{i=1}^3\gamma_idp_i=0, \] wobei \(a_i,\alpha_i,b_i\) usw. Funktionen von \(z,x_1,x_2,x_3\) und \(p_i=\frac{\partial z}{\partial x_i}\) sind. Er zeigt, daß sich so jede \textit{Monge-Ampère}sche Gleichung auf unendlichviele Arten in eine Determinantenform: \[ \left|\begin{matrix} \l\;& \l\;& \l\;& \l\;& \l\;& \l\;p_{11} & p_{12} & p_{13} & -1 & 0 & 0 \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & 0 & -1 & 0 \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & 0 & 0 & -1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 & \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{matrix}\right|=0,\quad p_{ik}=\frac{\partial^2z}{\partial x_i\partial x_k}, \] bringen läßt. Mit Hilfe dieser Determinantendarstellung werden für den Fall \textit{eines} Zwischenintegrales die Differentialgleichungen der ersten Integrale aufgestellt und für den Fall \textit{zweier} Zwischenintegrale zur gegebenen Differentialgleichung gehörige Integrationssysteme aufgestellt, die die bisher bekannten Integrationssysteme enthalten.