Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique (suite). (Q1473477)

Die vorliegende Fortsetzung (die drei ersten Kapitel findet man im Journ. de Math. (6) \textit{9}, 305; F. d. M. \textit{44}, 431, 1913) bringt im vierten Kapitel zuerst die vom Verf. sogenannten singulären Gleichungen der Form \[ \frac{\partial^2z}{\partial x^2}+a\;\frac{\partial z}{\partial x}+b\;\frac{\partial z}{\partial y}+cz+f=0. \] bei denen \(b\) in dem Gebiet, in welchem die Lösung gebildet werden soll, mit oder ohne Zeichenwechsel verschwindet. Je nachdem, ob sie ``singuläre Linie'' längs der \(b\) verschwindet, eine beliebige oder eine charakteristische Linie ist, erhält man die beiden Typen \[ \begin{aligned} & \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-x^p\frac{\partial z}{\partial y}+a\frac{\partial z}{\partial x}=cz+f,\\ & \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\varepsilon y^p\frac{\partial z}{\partial y}+a\frac{\partial z}{\partial x}=cz+f,\;{\text{wo}}\;\varepsilon=\pm 1\;{\text{bedeutet}}.\end{aligned} \] Bei der Bildung einer Fundamentallösung zeigt sich im ersten Falle ein Unterschied, je nachdem \(p\) gerade oder ungerade ist. Bei geradem \(p\) entspricht die Lösung der bei der Wärmeleitungsgleichung \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial z}{\partial y}\); wenn \(p\) ungerade ist, wird man auf die Lösung einer \textit{Fredholm}schen Gleichung erster Art geführt. Die Bildung der Fundamentallösungen gelingt auch beim zweiten Typus leicht. Im fünften Kapitel wendet Verf. die Methode von \textit{Hadamard} zur Bildung der Fundamentallösungen linearer Gleichungen an. Die Lösung gelingt bei einer beliebigen Anzahl von Variablen für alle Gleichungen von der Form \[ \sum_{i=1}^n\;\frac{\partial^2z}{\partial x_i^2}- \frac{\partial z}{\partial y}=\sum_{i=1}^na_i\;\frac{\partial z}{\partial x_i}+cz. \]