Zur Integration der Differentialgleichung \(\varDelta s=k^2\;\frac{\partial^2s}{\partial t^2}-2\pi f\). (Q1473481)

Die bekannten Lösungen der Gleichung \[ \varDelta s=k^2\;\frac{\partial^2s}{\partial t^2}-4\pi f \] und der analogen vektoriellen \[ \varDelta {\mathfrak a}=k^2\;\frac{\partial^2{\mathfrak a}}{\partial t^2}-4\pi f, \] \[ s=\int\frac{[f]}{\nu}\;d\varphi+\frac{1}{4\pi}\;\int do \left[ \tfrac{1}{\nu}[\triangledown s]+\frac{w_{\epsilon}}{\nu^2}[s]+k\;\frac{w_{\epsilon}}{\nu}\left[ \frac{\partial s}{\partial t}\right] \right], \] \[ {\mathfrak a}=\int\frac{[{\mathfrak f}]}{\nu}\;d\varphi+\frac{1}{4\pi}\int do \left[ \tfrac{1}{\nu}[\triangledown;{\mathfrak a}]+\frac{w_{\epsilon}}{\nu^2};{\mathfrak a}+k\;\frac{w_{\epsilon}}{\nu};\left[ \frac{\partial {\mathfrak a}}{\partial t}\right] \right] \] werden nach einer direkten Methode abgeleitet. Die vektoriellen und dyadischen Bezeichnungen sind die \textit{Gibbs}schen. In den Formeln sind die ersten Integral Volumen-, die zweiten Oberflächenintegrale über die Randfläche von \(V,\;w=\nu e_{\epsilon}\) ist der vom Aufpunkt gezogene Ortsvektor, \(k\) eine positive Konstante. Die Klammern \([f],[\triangledown s]\) usw. bedeuten, daß der betreffende Funktionswert nicht zur Zeit \(t\), für die wir \(s\) bzw. \({\mathfrak a}\) suchen, sondern für \(t- k\nu\) genommen werden soll.