Über die analytische Fortsetzung des Potentials ins Innere der anziehenden Massen. (Q1473490)

Von der \textit{Jablonowski}schen Gesellschaft war die Aufgabe gestellt, die von \textit{C. Neumann} für das logarithmische Potential gewisser Oberflächen gefundenen Sätze (F. d. M. \textit{39}, 827, 1908; \textit{40}, 840, 1909)auf das \textit{Newton}sche Potential und den Raum auszudehnen. Ohne diese Frage direkt zu beantworten, knüpft der Verf. an die Fragestellung Betrachtungen allgemeinerer Art an und wendet diese dann auf einige spezielle Probleme an. Er geht von folgender Überlegung aus. Ist das Potential eines Körpers im Außenraum darstellbar als Potential geeigneter Massenbelegungen im Innern des Körpers, so läßt es sich auch ins Innere desselben bis an jene Massenbelegungen analytisch fortsetzen. Läßt sich umgekehrt das Potential ins Innere des Körpers hinein analytisch fortsetzen, und werden die sich hierbei ergebenden singulären Stellen des Potentials durch irgendeine Fläche \(F\) umschlossen, so ist dasselbe auf mannigfache Weise als Potential von Massenbelegungen der Fläche \(F\) darstellbar, insbesondere durch die bekannte Formel \[ (1)\qquad V=\frac{1}{4\pi}\int_F \left(V\;\frac{\partial \frac{1}{R}}{\partial n}-\frac{1}{R}\;\frac{\partial V}{\partial n}\right) do. \] Für die Frage der Ersetzbarkeit des Potentials eines Körpers durch ein anderes Potential kommt es daher auf die Fortsetzung jenes ersteren in das Innere des Körpers und die hierbei sich ergebenden Singularitäten an. Speziell bei homogenen Körpern handelt es sich hier um Integrale algebraischer Funktionen; es sind daher aus der Theorie solcher Integrale (bei Einbeziehung des komplexen Gebiets) Aufschlüsse über das gestellte Problem zu erwarten. Dies der leitende Gesichtspunkt, der im ersten Teile der Abhandlung für das logarithmische Potential eines homogenen, von einer geschlossenen algebraischen Kurve begrenzten Flächenstückes durchgeführt wird. Ist \(V\) das logarithmische Potential des mit Masse von der Dichtigkeit 1 belegten Flächestücks, sind \(X, Y\) die Anziehungskomponenten, \(\xi,\eta\) die Koordinaten des Aufpunkts, wird ferner \[ \xi+i\eta=\zeta,\;x+iy=u,\;x-iy=v \] gesetzt, so wird \[ X-iY=\varOmega(\zeta)=\iint \frac{dx dy}{u-\zeta}. \] Das über das gegebene Flächenstück zu erstreckende Doppelintegral läßt sich nun in ein über die Randkurve \(C\) zu erstreckendes einfaches Integral umformen \[ (3)\qquad \varOmega(\zeta)=\frac{1}{2i}\int \frac{v(u)du}{u- \zeta}, \] worin \(v\) durch die Gleichung der Randkurve als Funktion von \(u\) bestimmt ist. Ferner wird das Potential \[ (2)\qquad V(\zeta,\eta)=\Re\int\varOmega(\zeta)d\zeta. \] In dem komplexen Integral (3) kann der Integrationsweg nach Maßgabe der Singularitäten des Integranden verschoben werden. Die Funktion \(\varOmega\) und damit \(V\) kann aber nur singulär werden, wenn \(\zeta\) in eine singuläre Stelle der Funktion \(v(u)\) einrückt, d. h. bei analytischer Fortsetzung des Potentials \(V(\zeta,\eta)\) ins Innere der anziehenden Fläche treten als singuläre Stellen jede innerhalb der Kurve \(C\) verlaufende geschlossen Kurve \(c\), welche alle inneren Brennpunkte von \(C\) umschließt, mit einer einfachen und mit einer Doppelschicht so belegt werden, daß sie für den Außenraum äquipotential mit dem von \(C\) begrenzten Flächestück wird. Weiter wird statt der geschlossen Kurve \(c\) eine offene, die Brennpunkte untereinander verbindende Linie \(L\) gewählt. Dann ist in dem längs der Linie \(L\) aufgeschnittenen Innenraum von \(C\) die Funktion \(v(u)\) durch ihre Randwerte auf \(C\) eindeutig bestimmt und bis auf die Pole, die in die außerwesentlichen Brennpunkte \(u=\varepsilon_h\) fallen, regulär. Die weitere Untersuchung des Integrals (3) führt zu folgendem Ergebnis: Das von der Kurve \(C\) begrenzte Flächenstück läßt sich bezüglich seiner Anziehung auf äußere Punkte ersetzen: a) durch eine einfache und eine Doppelbelegung der Linie \(L\), b) durch in den Punkten \(u=\varepsilon_h\) angebrachte Massenpunkte, c) durch Doppelbelegung mit konstanten Momenten beliebiger, von einem willkürlichen Punkte \(\alpha\) nach den Endpunkten von \(L\) und den Punkten \(\varepsilon_h\) gezogenen Linien \(L_0,L_1,L_h\). Die Werte der Belegungen sind durch Quadraturen bestimmbar. Dies allgemeine Resultat wird sodann auf die von bizirkularen Kurven vierten Ordnung begrenzten Flächenstücke angewandt, wobei besonders einfache Sätze sich für die aus runden Ovalen bestehenden Kurven ergeben. Läßt man eines der Ovale auf einen Punkt zusammenschrumpfen oder beide Ovale in eine Schleife verschmelzen, so erhält man die allgemeinen Inversionskurven von Ellipse und Hyperbel, und jene Sätze gehen direkt in die von \textit{C. Neumann} entdeckten Theoreme über. Im zweiten Teil untersucht der Verf. das Potential derjenigen homogenen Rotationskörper, welche durch eine Fläche 4. Ordnung der Gleichung \[ (4)\quad (x^2+y^2+z^2)^2+4C(x^2+y^2)-4Bz^2+4D=0, \] \[ (5)\quad (D-B^2)(D-C^2)>0 \] begrenzt werden. Diese Flächen zerfallen in sechs verschiedene Typen, darunter auch eine ringförmige Fläche, und erhalten als Grenzfälle: a) für \(D=0\) die aus den Rotationsflächen zweiten Grades durch Inversion an einer Kugel um deren Mittelpunkt entstehen den Flächen, b) für \(D=B\) die Torusfläche. Vorausgeschickt werden einige Betrachtungen über Potentiale von Rotationskörpern. Auf Grund des Satzes, daß zwei räumliche Potentialfunktionen von \(\xi,\eta,\zeta\) mit Rotationssymmetrie um die \(z\)-Achse und beide regulär außerhalb einer genügend großen Kugel \(K\) um den Koordinatenanfang, überall außerhalb \(K\) übereinstimmen, falls sie in der \(z\)-Achse für genügend große positive \(\zeta\) dieselben Werte haben, wird gezeigt, daß man die Potentialfunktion \[ V(x,y,z)=[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^{-\frac{1}{2}}, \] in der \(a,b,c\) beliebige komplexe Größen darstellen, durch das Potential gewisser Flächenbelegungen ersetzen kann, und zwar werden diese folgendermaßen erhalten. Geht man von dem Koordinatensystem \(x,y,z\) zu einem andern \(\xi,\eta,\zeta\) über, so nimmt bei passender Wahl des letzteren \(V\) die Form an \[ V(\xi,\eta,\zeta)=\frac{1}{\sqrt{\xi^2+\eta^2+(\zeta-u)^2}}, \] und dieses hat für \(\xi=0,\eta=0\) und positive \(\zeta>| u|\) den Wert \(\frac{1}{\zeta-u}\). Läßt man eine beliebige in der \(\eta\zeta\)-Ebene verlaufende Linie \(\varLambda\) um die \(\zeta\)-Achse rotieren, so ist diese Rotationsfläche, um das Potential \(V(\zeta)=\frac{1}{\zeta-u}\) hervorzubrigen, mit zwei Doppelschichten verschiedener Art zu belegen, 1. mit einer \textit{tangentialen} Doppelbelegung, deren Potential \[ \varPhi(\zeta)=2\pi\int_0^lm\frac{\partial}{\partial s}\left( \frac{1}{R}\right) ds \] ist (\(s\) der Bogen der roterienden Kurve), 2. mit einer normalen (gewöhnlichen) Doppelbelegung. Falls \(m\) für die Endpunkte von \(\varLambda\) endlich ist, kann die tangentiale Doppelbelegung durch eine einfache Belegung der Fläche und eine Belegung ihrer beiden Randlinien ersetzt werden, nicht jedoch, wenn \(m\) zwar endlich integrabel ist, die genannten Voraussetzungen aber nicht erfüllt sind. Speziell werden die beiden Belegungen für den Fall bestimmt, daß als Anfangspunkt der Linie \(\varLambda\) ein Punkt der \(z\)-Achse, als ihr Endpunkt der der Zahl \(u\) in der komplexen \(x+iy\)-Ebene zugehörige Punkt gewählt wird. Zu dem Potential der beiden Doppelbelegungen kommt in diesem Falle noch das Potential eines Massenpunktes 1 im Anfangspunkt der Linie \(\varLambda\) eine zur \(z\)-Achse senkrechte Gerade, die zugehörige Rotationsläche die Fläche eines ebenen Kreises. Analog wie die eben betrachtete läßt sich auch die Potentialfunktion, die in der \(z\)-Achse für große \(\zeta\) den Wert hat \[ \varOmega(\zeta)=\int_{u_0}^{u_1}\frac{\omega(u)du}{\zeta-u}, \] als Potential geeigneter Flächenbelegungen darstellen. Weiter wird gezeigt, daß, wenn man die Figurenachse eines homogenen Rotationskörpers der Massendichte 1 zur \(z\)-Achse wählt, sich das Potential \(V(\zeta)\) in dem äußerem Punkte \(\xi=0,\eta=0,\zeta>0\) für genügend große \(\zeta\) in der Form \[ V(\zeta)=\iiint\frac{dx dy dz}{\zeta-(z+iy)},\;\zeta> \text{Max} (z) \] darstellen läßt. Setzt man jetzt \(u=z+iy,\;v=z-iy\), so kann, wie in Teil I, das über die Schnittfläche der Ebene \(x=\)Konst. mit dem Körper erstreckte Doppelintegral durch ein einfaches Integral ersetzt werden: \[ \iint \frac{dy dz}{\zeta- (z+iy)} = \frac{1}{2i}\;\int_{\varGamma}\;\frac{v du}{u-\zeta}\,, \] wbei das Integral rechts längs des Randes \(\varGamma\) der Schnittfläche zu nehmen ist. Damit wird \[ (6a)\qquad V(\zeta)=\frac{1}{2i}\iint \frac{v du dx}{u- \zeta}, \] das Integral über die Oberfläche \(C\) des Körpers erstreckt, und falls diese Oberfläche eine algebraische Rotationsfläche ist, ist durch ihre Gleichung \(v\) als Funktion von \(x\) und \(y\) bestimmt. Wie im Teil I kann die Kurve \(\varGamma\) durch eine andere ersetzt werden, und damit ist die Integrationsfläche \(C\) beweglich, d. h. nach Maßgabe der Singularitäten des Integranden deformierbar. Die singulären Stellen der Funktion \(v(x,u)\) sind aber der Ort der Brennpunkte der Schnittkurven der Fläche mit den Ebenen \(x=\)konst., und zwar sind die von den ordentlichen Brennpunkten gebildeten Linien Verzweigungslinien, die von den außerordentlichen Brennpunkten gebildeten aber Pollinien der Funktion. Durch passende Deformation der Integralfläche kann man ferner in (6a) die Integration nach \(u\) nach den Residuensatz ausführbar machen, und damit ist \(V(\zeta)\) durch ein einfaches Integral der Form \(\int v(\zeta,x)dx\) darstellbar. Die so gewonnene Darstellung von \(V(\zeta)\) wird nun auf die durch die obige Gleichung (4) begrenzten Rotationskörper angewandt, und so ergibt sich die Darstellbarkeit des Potentials dieser Rotationskörper als Potential: \(\alpha\)) einer einfachen Belegung einer gewissen Strecke der \(z\)-Achse; \(\beta\)) einer einfachen Belegung einer gewissen Kreisfläche \(x^2+y^2\leqq a^2\) der \(x,y\)-Ebene, eventuell vermehrt um ein von den Pollinien herrührendes Zusatzglied; \(\gamma\)) eines oder zweier Massenpunkte in den Endpunkten jener Strecke oder einer gewissen ``radialen'' Doppelbelegungjener Kreisfläche (radial ist dabei in demselben Sinne zu verstehen wie oben tangential). Die Dichten der Massenbelegungen der \(z\)-Achse ergeben sich in Form einfacher elliptischer Integrale, die Dichten der Belegung der \(xy\)-Ebene zunächst in der Form von Doppelintegralen, welche sich nach Heranziehung der von einem Parameter \(\lambda\) abhängigen, zu den Flächen (4) gleichartigen Flächen durch algebraische Funktionen ausdrücken lassen. Dabei tritt gleichzeitig ein enger Zusammenhang zwischen der auf dem Kreisring \(r^2\leqq x^2+y^2\leqq a^2\) verteilten Masse und dem von jenen \(\lambda\)-Flächen umschlossenen Volumen zutage. Zu bemerken ist noch, daß die Strecke der \(z\)-Achse in \(\alpha\)) eine Fokalstrecke und der Rand der Kreisfläche in \(\beta\)) eine Fokallinie der Fläche (4) ist.