Über das Potential gewisser Ovaloide. (Q1473491)

Wie in der Abhandlung von \textit{Herglotz} (vgl. das vorangehende Referat) handelt es sich in der vorliegenden darum, für das \textit{Newton}sche Potential im Raume Sätze zu finden, die denen von \textit{C. Neumann} für das logarithmische Potential gewisser ebener Ovalflächen aufgestellten analog sind. Auch die Beschränkung auf Rotationskörper ist beiden Abhandlungen gemein. Wesentlich verschiedener aber ist die Methode der Untersuchung. Während \textit{Herglotz} sich auf funktionentheoretische Betrachtungen stützt, wird hier das Ziel durch direkte Rechnung zu erreichen gesucht. Hinsichtlich der Ergebnisse ist die \textit{Herglotz}sche Abhandlung insofern etwas allgemeiner, als sie Rotationsflächen betrifft, deren Meridianschnitt eine bizirkulare Kurve mit \textit{zwei} Symmetrieachsen ist; in der vorliegenden Arbeit dagegen werden nur solche Rotationsfläche untersucht, die aus Rotationsellipsoiden durch Inversion entstehen, darunter aber auch solche, deren Meridiankurven nur eine Symmetrieachse besitzen. Es werden somit auch Resultate abgeleitet, die sich aus den \textit{Herglotz}schen nicht ergeben. Die bei der Durchführung der Rechnung befolgte Methode ist die folgende: Transformiert man ein Rotationsellipsoid von einem inneren Punkte aus und denkt den von der entstehenden Overfläche begrenzten Raum (Ovaloid) mit Masse von konstanter Dichtigkeit gefüllt, so wird das Potential dieser Masse in räumlichen Polarkoordinaten, mit dem Transformationszentrum als Pol, ausgedrückt und die in dem Ausdruck enthaltene reziproke Entfernung zweier Punkte in bekannter Weise nach Kugelfunktionen entwickelt. Die Reihe wird dann gliedweise integriert, was bei hinreichender Entfernung des Aufpunktes zulässig ist, und die einzelnen Integrale durch Anwendung teils bekannter, teils neu aufgestellter Formeln auf eine möglichst einfache Form gebracht, schließlich die Reihe wieder summiert und der Endausdruck gedeutet. Wendet man das Verfahren auf eine Kugel an, so ergibt sich aus der Vergleichung des durch die neue Methode erhaltenen mit dem von vornherein bekannten Resultat der Wert eines gewissen, Kugelfunktionen enthaltenden Integrals, ein Wert, den der Verf. früher auf anderem Wege hergeleitet hat (vgl. d. Bd. S. 701). Ferner ergibt sich für den Fall, daß die Grenzfläche des Ovaloids durch Transformation eines verlängerten Rotationsellipsoids von einem Brennpunkte aus entsteht, das Resultat: Die Anziehung der Masse des Ovaloids auf äußere Punkte kann ersetzt werden durch die Wirkung einer auf bestimmte Weise mit Masse belegten Kugelfläche und die einer besonderen Art der Doppelbelegung derselben Kugel. Die Gleichung der Grenzfläche des Ovaloids wird in diesem Falle \(r_1=A+B \cos \vartheta_1\), die der im Resultat auftretenden Kugel \(r_1=B \cos \vartheta_1\); die Dichtigkeit der einfachen Kugelbelegung ist \(\frac{2A(A^2+B^2)}{B^2} \cos \vartheta_1\), die zu dieser Belegung gehörige Gesamtmasse gleich der Masse den gegebenen Ovaloids. Die hier in Frage kommende Doppelbelegung unterscheidet sich von der gewöhnlichen Doppelbelegung dadurch, daß nicht nach der Normale differentiiert wird, sondern nach \(B\), d. h. daß das Potential der Doppelbelegung nicht aus den Potentialen zweier einfach belegten konzentrischen, sondern aus den Potentialen zweier Kugeln entsteht, die sich im Anfangspunkt berühren. Übrigens wird weiter gezeigt, daß die Wirkung dieser Doppelbelegung durch die einer einfachen Belegung der Kugel ersetzt werden kann; und eine längere Rechnung ergibt den expliziten Wert dieser Belegung, in dem ein elliptisches Integral auftritt. Es folgen die Fälle, in denen das Transformationszentrum in den Mittelpunkt des Rotationsellipsoids fällt. Hier kommt zur Vereinfachung der oben erwähnten Teilintegrale eine neue Darstellung der Kugelfunktion \(P_n(x)\) durch wiederholte Differentiation nach \(x^2\) zur Anwendung, eine Darstellung, die vom Verf. schon anderweitig mitgeteilt ist (vgl. d. Bd. S. 700), für die hier aber ein neuer Beweis gegeben wird. Die Resultate, die sich schließlich ergeben, sind folgende: 1. Ist das Ausgangsellisoid ein abgeplattetes, so läßt sich die Wirkung des Ovaloids auf äußere Punkte ersetzen durch die Wirkung zweier Massenpunkte und der sie verbindenden, auf gewisse Weise mit Masse belegten geraden Linie. Die Dichtigkeit der Linie ergibt sich in Form eines elliptischen Integrals. 2. Ist das Ausgangsellipsoid ein verlängertes Rotationsellipsoid, so kann man die Wirkung des Ellipsoids auf äußere Punkte dadurch ersetzen, daß man die ganze Masse mit einer gewissen (explizit bestimmen) Dichtigkeit auf einer zur Rotationsachse senkrechten Kreisfläche, deren Mittelpunkt der des Ausgangsellipsoid ist, ausbreitet und dazu eine gewisse Doppelbelegung der Kreisfläche hinzufügt. Bei dieser Doppelbeleung wird der Abstand \(r\) des Aufpunktes nicht nach der Normale, sondern nach dem Kreisradius differentiiert; d. h. es handelt sich um eine ``radiale'' Doppelbeleung. Für dasselbe Resultat werden durch einfache Umformungen noch zwei andere Deutungen ermittelt. An Stelle der beiden vorher genannten Kreisbelegungen kann auch eine einfache Kreisbelegung treten, verbunden mit einer besonderen Belegung der Kreisperipherie; aber dabei treten unendliche Massen auf. Eine dritte Deutung verlangt die Einführung eines neuen Begriffs, des der \textit{dreifachen} Belegung des obigen Kreises. Man denke sich zu beiden Seiten der Kreisfläche im Abstande \(x_1\) je einen kongruenten und parallelen Kreis, belege die beiden neuen Kreise mit Masse von der Dichtigkeit \(mF(\varrho)\), den gegebenen (mittleren) Kreis mit solcher von der Dichtigkeit \(-2mF(\varrho)\), dann ist die Summe der Potentiale der drei Kreise für den Grenzfall \(x_1=0,\lim (x_1^2m)=1\) das Potential der dreifachen Belegung. Zu ähnlichen Resultaten wie in den bisher besprochenen Fällen gelangt die Arbeit noch in folgenden: 1. Das Ausgangsellipsoid ist ein (verlängertes oder abgeplattetes) Rotationsellipsoid von sehr kleiner Exzentrizität, das Transformationszentrum ist ein beliebiger Punkt der Achse. 2. Ein verlängertes Rotationsellipsoid wird von einem Achsenpunkte aus transformiert, der dem Brennpunkt sehr nahe liegt. (An Stelle der Kugel, auf die der erste Fall führte, tritt hier je nach der Lage des Transformationszentrums ein verlängertes oder ein abgeplattetes Rotationsellipsoid.) 3. Ein verlängertes oder ein abgeplattetes Rotationsellipsoid wird von einem dem Mittelpunkte sehr nahen Punkte der Achse transformiert. Auch zur Ableitung der in diesen Fällen sich ergebenden Resultate werden einige neue Formeln über Integrale, die Kugelfunktionen enthalten, entwickelt. Damit sind verschiedene Fälle gefunden, in denen die Anziehungen von Ovaloiden durch die anderer, im Innern gelegener Massen ersetzt werden kann. Zum Schluß wird gezeigt, welche komplizierten Formeln sich ergeben würden, wenn man, wie \textit{C. Neumann} in dem entsprechenden ebenen Problem elliptische Koordinaten anwenden würde. Mann kann aber diese komplizierten Formeln benutzen, um durch Vergleichung derselben mit den Resultaten, zu denen der Verf. nach seiner Methode gelangt ist, neue Formeln über Kugelfunktionen zu gewinnen, speziell die Werte gewisser Kugelfunktionen enthaltender Integrale.