Über die Ersetzung der Anziehung eines homogenen Ellipsoids durch die Anziehung der mit Masse belegten Oberfläche. (Q1473492)

Ist \(\varrho\) der Abstand eines im Innern des Ellipsoids gelegenen Punktes von dem äußeren Aufpunkte \(x,y,z\), stellt ferner \(f\) die Funktion \[ f=\left( \frac{x_1^2}{a^2} +\frac{y_1^2}{b^2}+ \frac{z_1^2}{c^2}\right) : 2\left(\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}\right) \] und \(\varDelta_1(f)\) den \textit{Laplace}schen Operator dar, so läßt sich das Potential des homogenen Ellipsoid von der Dichtigkeit 1 so darstellen: \[ V=\iiint \left[ \varDelta_1(f)\cdot \frac{1}{\varrho}- f\varDelta_1\left( \frac{1}{\varrho}\right) \right] dx_1dy_1dz_1. \] Durch Anwendung des \textit{Green}schen Satzes geht die rechte Seite dieser Gleichung in die Differenz zweier Oberflächenintegrale über, von denen das eine verschwindet, da \(f\) an der Oberfläche konstant ist. Daher wird \(V=\int \frac{df}{dN}\frac{1}{\varrho}do\), \(\frac{df}{dN}\) ist die gesuchte Flächendichtigkeit.