Das allgemeine \textit{Cauchy}sche Theorem \(F(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\frac{F(z)}{z-z_0}dz\) in seiner Anwendung auf die Kreisbogenaufgabe. (Q1473494)

``Denkt man sich auf der \(xy\)-Ebene eine ungeschlossene Kurve \(s\) (z. B. einen Kreisbogen) gegeben und den (nach allen Seiten ins Unendliche sich ausdehnenden) Außenraum dieser Kurve mit \(\mathfrak U\) bezeichnet, so kann man sich die Aufagbe stellen, diejenige Potentialfunktion \(u\) dieses Gebietes \(\mathfrak U\) zu finden, welche auf der Kurve \(s\) von bestimmten, daselbst vorgeschriebenen und daselbst stetigen Werten \(f\) nur durch eine noch unbekannte additive Konstante \(k\) sich unterscheidet, und für welche die Summe der erzeugenden Massen gleich Null ist. Die unbekannte Potentialfunktion \(u\) und die unbekannte Konstante \(k\) sollen also in der Art bestimmt werden, daß für jedweden Punkt \(s\) der gegebenen Kurve die Gleichung stattfindet: (1) \(u_s+k=f_s\). Diese Aufgabe wird bekanntlich stets eine -- und nur eine einzige Lösung haben. Setzt man \(u+k=U\), so geht die Formel (1) über in: (2) \(U_s=f_s\); auch wird man alsdann die Funktion \(U\) zu bezeichnen haben als die den vorgeschriebenen Werten \(f\) entsprechende Fundamentalfunktion des Gebietes \(\mathfrak A\). -- An die Funktionen \(u\) und \(U\) wollen wir nun einige Betrachtungen sich anschließen lassen.''