Zur Theorie der Äquipotentialität. (Q1473495)

1. Sind \(S\) und \(\varSigma\) zwei konzentrische Kugeln mit den Radien \(R\) und \(\varrho\), und zwar \(\varrho>R\), ist ferner \(m\) ein Massenpunkt innerhalb \(S\), dessen Abstand vom Mittelpunkte \(=r\) ist, so läßt sich, so lange \(r\varrho<R^2\), die Kugelfläche \(\varSigma\) stets in kontinuierlicher Weise so mit Masse belegen, daß das Potential dieser Masse an der Kugel \(S\) überall denselben Wert hat wie das Potential des Massenpunktes \(m\). Ist \(r\varrho>R^2\), so ist eine derartige Massenbelegung von \(\varSigma\) nicht möglich, während für \(r\varrho=R^2\) die Massenbelegung von \(\varSigma\) sich auf einen Massenpunkt reduziert, der mit \(m\) auf demselben Radius liegt. 2. Das logarithmische Potential eines innerhalb einer Ellipse \(S\) gelegenen Massenpunktes ist an \(S\) bis auf eine additive Konstante gleich der Summe der logarithmischen Potentiale unendlich vieler außerhalb \(S\) liegender Massenpunkte \(\mu_0,\mu_1,\mu_2,\dots\) Die Punkte liegen auf der durch \(m\) gehenden, zu \(S\) konfokalen Hyperbel zu beiden Seiten von \(m\). Ferner ist die Masse von \(\mu_0\) gleich der von \(m\), während die Massen der übrigen \(\mu\) teils \(=+m\), teils \(=-m\) sind. -- Auf mögliche Erweiterungen dieses Satzes wird hingewiesen.