Über Variationsprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen. (Q1473534)

Es werden die Bedingungen erster Ordnung für folgendes sehr allgemeine Problem der Variationsrechnung aufgestellt: Den Ausdruck: \[ U=\int_{t_0}^{t_1}f(y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')dt+G(y_{10}\dots,y_{n0};y_{11},\dots,y_{n1}) \] zu einem Minimum zu machen uter den Kurvenbögen, die den Bedingungsdifferentialgleichungen: \[ \varphi_{\alpha'}(y_1,\dots,y_n, y_1',\dots,y_n')=0\quad (\alpha'=1,2,\dots,p'), \] den Differentialgleichungen: \[ \varphi_{\alpha''}(y_1,\dots,y_n, y_1',\dots,y_n')\geqq 0\quad (\alpha''=p'+1,\dots,p), \] den endlichen Gleichungen: \[ \psi_{\beta'}(y_1,\dots,y_n)=0\quad (\beta'=1,2,\dots,q'), \] den endlichen Ungleichungen: \[ \psi_{\beta''}(y_1,\dots,y_n)\geqq 0\quad (\beta''=q'+1,\dots,q), \] genügen und deren Anfangs- und Enddpunktekoordinaten den Gleichungen: \[ \chi_{\gamma'}(y_{10},\dots,y_{n0};y_{11},\dots,y_{n1})=0\quad (\gamma'=1,2,\dots,r') \] und den Ungleichungen: \[ \chi_{\gamma''}(y_{10},\dots,y_{n0};y_{11},\dots,y_{n1})\geqq 0\quad (\gamma''=1,2,\dots,r'') \] genügen. -- Eine Lösungskurve dieses Problems, die den Ungelichungen im \textit{Sinne der Gleichheit} genügt, muß dem vom Verf. in einer größen Arbeit (F. d. M. \(44\), 447, 1913), aufgestellen System von Differentialgleichungen und Grenzbedingungen genügen, wozu nun noch die durch die Ungleichungen bedingten \textit{Schrankenbedingungen} kommen, die ebenfalls in zwei Gruppen zerfallen. Die erste, dem Differentialgleichungssysteme entsprechende Gruppe besagt, daß die in diesem Differentialgleichungssysteme auftretenden \(p+q\) \textit{Lagrange}schen Multiplikatoren nicht positiv sein dürfen; die zweite, den Grenzbedingungen entsprechende Gruppe von Schrankenbedingungen besteht in Ungleichungen für die in diesen Grenzbedingungen auftretenden konstanten Multiplikatoren, die auch hier -- unter gewissen weiteren Annahmen -- besagen, daß diese Multiplikatoren nicht positiv sein dürfen. Alle diese Erörterungen sind durchgeführt unter der Annahme, daß die betrachtete Lösungkurve ``normales Verhalten'' zeigt, insbesondere so variierbar ist, daß alle Bedingungen unseres Problems (die Ungleichungen im Sinne der Gleichheit) erfüllt bleiben (was etwa beim ebenen Problem mit Gebietsbeschränkung, beim räumlichen Problem mit zwei Ungleichungen \(\psi_1(x,y,z)\geqq 0,\;\psi_2(x,y,z)\geqq 0\) nicht der Fall ist).