Infinite developments and the composition property \((K_{12} B_1)_*\) in general analysis. (Q1473557)

Die Arbeit ist ein Beitrag zu der ``General Analysis'' von \textit{E. H. Moore,} in der die Verallgemeinerungstendenzen der modernen Mathematik wohl ihre höchste Blüte entfaltet haben. Eine Mannigfaltigkeit -- man nehme als Beispiel die Gerade der reellen Zahlen -- ist nicht bloß\ eine Menge von Elementen, sondern es gilt, auch den ``stetigen Zusammenhang'' ihrer Punkte und das ``Hinauslaufen ins Unendliche'' begrifflich zu erfassen. Dies kann bei der reellen Achse in einer verallgemeinerungsfähigen Weise etwa dadurch geschehen, daß\ eine Folge von ``Einteilungen'' zugrunde gelegt wird, wobei die \(n\)-te Einteilung aus den sämtlichen \(2n^2\) Teilintervallen von der Länge \(\frac 1n\) besteht, in welche die Strecke von \(- n\) bis \(+n\) sich zerlegen läßt. \textit{Moore} geht daher aus von irgendeiner Menge \(\mathfrak P\) und einer ``Entwicklung'' \(\varDelta\) derselben; d, i, eine wie die natürlichen Zahlen geordnete Folge von Systemen von Teilmengen der Menge \(\mathfrak P\). Mit Hilfe dieser ``Entwicklung'' kann man für eine willkürliche Funktion, deren Argument die Menge \(\mathfrak P\) durchläuft und deren Werte reelle Zahlen sind, erklären, sowohl was es heißt, sie ist gleichmäßig stetig, wie auch sie konvergiert im Unendlichen gegen Null. Der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit wird dabei in der Modifikation ``relativ gleichmäßig'' verwendet, wobei gefordert ist, daß\ der Unterschied der Werte der Funktion in zwei hinreichend benachbarten Punkten kleiner ist als \(\varepsilon \cdot \mu (p),\) wo \(\mu(p)\) eine gegebene Funktion auf \(\mathfrak P\) ist und die Konstante \(\varepsilon\) beliebig klein vorgegeben werden kann. Zu einer Klasse \(\mathfrak M\) von Funktionen auf \(\mathfrak P\) wird diejenige (\({\mathfrak M}_l\)) gebildet, die entsteht, wenn man eine beliebige endliche Anzahl von Funktionen der Klasse \({\mathfrak M}\) linear kombiniert, und aus \({\mathfrak M}_l\) die Klasse \({\mathfrak M}^*\), zu der alle Funktionen gehören, die sich als Grenze einer relativ gleichmäßig konvergenten Folge von Funktionen von \({\mathfrak M}_l\) ergeben. Diese Gesamtheit \({\mathfrak M}^*\) soll (unter gewissen Voraussetzungen über \({\mathfrak M}\)) durch innere Funktionaleigenschaften ihrer Mitglieder charakterisiert werden. Der Verf. überträgt die \textit{Moore}schen Untersuchungen auf den Fall, wo das \(n\)-te System von Teilmengen, das \textit{Moore} als endlich voraussetzt, endlich oder abzählbar unendlich ist.