Über die allgemeinste ebene Punktmenge, die stetiges Bild einer Strecke ist. (Q1473561)

Verf. zeigt, daß\ folgende vier Bedingungen notwendig sind, damit die ebene Menge \(M\) stetiges Bild der Einheitsstrecke ist: 1. \(M\) ist beschränkt. 2. \(M\) ist abgeschlossen. 3. \(M\) ist zusammenhängend. 4. \(M\) ist im Kleinen zusammenhängend. Dabei bedeutet die letzte Bedingung folgendes: ist \(P\) ein beliebiger Punkt von \(M\) und \(\varepsilon\) irgendeine positive Zahl, dann gibt es dazu eine positive Zahl \(\eta\) derart, daß\ es zu jedem, in der Umgebung \(\eta\) von \(P\) (d. h. in dem um \(P\) mit \(\eta\) gezeichneten Kreise) liegenden Punkt \(P'\) von \(M\) einen, die beiden Punkte \(P\) und \(P'\) enthaltenden, abgeschlossenen und zusammenhängenden Teil von \(M\) gibt, der ganz in der Umgebung \(\varepsilon\) von \(P\) liegt Verf. teilt dann einige Mengen mit, die die Eigenschaften 1-3, aber nicht 4 besitzen. Der Beweis dafür, daß\ die angegebenen vier Bedingungen auch hinreichend sind, damit \(M\) stetiges Bild der Einheitsstrecke ist, verspricht Verf. an anderer Stelle zu veröffentlichen und gibt hier nur kurze Andeutungen des Beweisganges.