Eine Erweiterung des Satzes von \textit{Vitali} über Folgen analytischer Funktionen. (Q1473594)

Der vielfach bewiesene und vielfach verallgemeinerte Satz von \textit{Vitali} (Lomb. Ist. Rend. (2) 36, 1903 und Annali di Math. (3) 10, 1904) wurden von seinem Urheber (nicht erst von \textit{Koebe}, wie hier irrtümlich angegeben ist) so ausgesprochen. Aus jeder Folge analytischer Funktionen, die im Einheitskreis erklärt sind und dem absoluten Betrag nach etwa unter Eins liegen, läßt sich eine Teilfolge absondern, die in jedem kleineren Kreise gleichmäßig konvergiert. Daraus wird hier gefolgert: Es seien wieder die Funktionen \(f_n(z)\) in \(| z| < 1\) analytisch und \[ | f_n (z) | < 1\text{ für } n=1,2,3,\dots. \] Ferner konvergiere \[ \lim_{n \to \infty} f_n (z_k) = w_k; \;0<| z_k| <1, \;k=1,2,3, \dots \] Um aus der Konvergenz in der Punktmenge der \(z_k\) auf die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge in jedem Kreise \(| z| < \varrho < 1\) schließ\ en zu können, ist notwendig und hinreichend \[ \prod _{k=1}^\infty | z_k| = 0. \]