Bestimmung des Geschlechts spezieller ganzer transzendenter Funktionen. (Q1473617)

Verhält sich \(F(z)\) an den Stellen \(a_\nu\) nach Subtraktion der rationalen Funktionen \[ g_\nu \left( \frac 1{z-a_nu}\right) = \frac {A_k}{(z-a_\nu)^k} + \frac{a_{k-1}}{(z-a_\nu)^{k-1}}+\cdots + \frac {A_1}{z- a_\nu} \] regulär, so gilt nach \textit{Cauchy,} falls die Kurve \(C\) die Pole \(a_1,\dots,a_n\) und den Punkt \(z = u\) umschließt. \[ \frac {1}{2\pi i} \int_C \frac {F(z) dz}{z-u} = F (u)-\sum_1^n g_\nu \left( \frac 1{z-a_\nu} \right). \] In geeigneten Fällen kann man die Kurve \(C\) sich derart ins Unendliche ausdehnen lassen, daß\ das links stehende Integral gegen Null konvergiert. Diesen \textit{Cauchy}schen Gedanken hat schon \textit{Laguerre} verwertet, um die Partialbruchdarstellung der meromorphen Funktion \(\frac {f'(z)}{z^m f(z)}\) und schließlich die Produktzerlegung der ganzen Funktion \(f(s)\) zu finden. Der Verf. zeigt an einfachen Beispielen, ein wie vorzügliches Mittel das \textit{Laguerr}sche Verfahren unter Umständen bietet, um bei ganzen Funktionen, deren Primfaktoren man kennt, den Exponentialfaktor aufzufinden, der zum Produkt der Primfaktoren noch hinzutritt und dessen Bestimmung auf andere Weise häufig recht umständlich ist. Die Beispiele des Verf. sind: \(1.\cos {\mathfrak Cot} z-1\); 2. ganze Funktionen, die einer \textit{Liouville}schen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen; 3. die \textit{Bessel}sche Funktion \(J(z).\)