Algebraische Untersuchungen über ganze Funktionen vom Geschlechte Null und Eins. (Q1473618)

Der Verf. nennt die ganze Funktion \[ \begin{aligned} \psi (x) & =x^r e^{-\gamma x^2 + \delta x} \prod_1^\infty (1+\delta_r x) e^{-\delta_\nu x}\\ & = a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + \cdots\;& = x^r (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots )^{-1}\end{aligned} \] vom Typus II, wenn \(\delta, \delta_1, \delta_2,\dots\) reelle Zahlen sind und \(\gamma \geqq 0\) ist. Ist insbesondere \(\gamma = 0\) und sind außerdem alle \(\delta\) positiv, so heißt \(\psi (x)\) vom Typus I. Er geht dann aus von dem \textit{Hermite-Poulain}schen Satze: Ist \(F(x)= c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_n x^n\) ein Polynom mit lauter reellen Wurzeln, und hat das Polynom \(g(x)\) reelle Koeffizienten und \(r\) reelle Wurzeln, so hat das Polynom \(c_0 g (x) + c_1g' (x) + \cdots + c_n g^{(n)} (x)\) mindestens \(r\) reelle Wurzeln. Nachdem er im ersten Paragraphen diesen Satz durch einige einfache Bemerkungen ergänzt und erweitert hat, beweist er im zweiten Sätze wie die folgenden (bei deren Fassung die bisherigen Bezeichnungen und Voraussetzungen beibehalten sind): Das Polynom \(\sum_0^n {}\nu a_\nu g{(\nu)}\) hat wenigstens \(r\) reelle Wurzeln. Das Polynom \(\sum_0^n {}_\nu b_\nu g^{(\nu)} (x)\) hat wenigstens \(r\) reelle Wurzeln oder um eine gerade Anzahl weniger. Die Polynome \(b_0 + b_1 x + b_2x^2 + \cdots + b_n x^n\) haben höchstens eine reelle Wurzel. Ist \(\psi(x)\) von \(e^{delta x}\) verschieden, so haben die Polynome \[ b_0 x^n + b_1 nx^{n-1} + b_2 n (n -1 ) x^{n-2} + \cdots + b_n n (n -1 ) \dots 1 \] eine oder keine reelle Wurzel, je nachdem \(n\) ungerade oder gerade ist. (Die zwei letzten Behauptungen finden sich ohne Beweis schon bei \textit{Laguerre}.) Der Verf. macht von diesen und ähnlichen Sätzen mehrfache Anwendungen, z. B. auf das Vorzeichen der Hauptdeterminanten einer unendlichen Matrix. An der Spitze des dritten Paragraphen steht folgender Satz: Ist \(\varPhi (x) = \sum_0^\infty{}_\nu \frac {\alpha_\nu}{\nu!}\;x^\nu\) vom Typus I und \(\psi = \sum_0^\infty{}_\nu \frac {\beta_\nu}{\nu!} x^\nu\) vom Typus II, dann konvergieren die vier Reihen \[ \sum_0^\infty{}_\nu \frac {\alpha_\nu }{\nu!} \psi^{(\nu)} (x),\quad \sum_0^\infty{}_\nu\;\frac {\alpha_\nu }{\nu!}\;x^\nu \psi^{(\nu)} (x),\quad \sum_0^\infty{}_\nu\;\frac{\beta_\nu}{\nu!}\;\varPhi^{(\nu)} (x),\quad \sum_0^\infty{}_\nu \frac {\beta_\nu}{\nu!}\;x^\nu \varPhi^{(\nu)}(x) \] für jedes \(x\) und stellen ganze Funktionen vom Typus II dar. Es folgen im dritten, vierten und fünften Paragraphen Ergänzungen und Anwendungen der erhaltenen Sätze; als Beispiel sei erwähnt: Die Potenzentwickelung \(\sum_0^\infty {}_\nu a_\nu x^\nu\) der Funktion \(\frac 1{\varGamma (x)}\) weist unendlich viele Zeichenwechsel und unendlich viele Zeichenfolgen auf.