Some remarks on conformal representation. (Q1473651)

Es wird zunächst ein von \textit{Koebe} und \textit{Courant} gefundener Schränkungssatz einer äußersten Verschärfung unterworfen. Ist \(f (x)\) für \(| x| < 1\) regulär, \(f (0) = 0,\) und vermittelt diese Funktion eine schlichte Abbildung auf ein Gebiet, dessen Flächeninhalt \(A\) endlich ist, so bestehen für \(| x| \leqq r\) nach \textit{Gronwall} die genauen Schranken \[ | f (x)| \leqq \sqrt {\frac A\pi} \sqrt {\log \frac 1{1- r^2}},\;| f'(x)| \leqq \sqrt {\frac A\pi} \frac 1{1-r^2}. \] Weiter wird ein von \textit{Koebe} beim Beweis seines Verzerrungssatzes als Hilfssatz entwickelter Schränkungssatz, der sich auf schlicht abbildende Funktionen der Form \(\frac 1x + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n\) bezieht, durch Verfeinerung der Schranken weitergeführt.