Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions. (Q1473652)

Die Bedingung dafür, daß\ eine in dem Einheitskreise reguläre analytische Funktion \(w (z)\) eine konforme Abbildung auf ein schlichtes Gebiet leistet, nämlich \(\frac {w(z_1)-w(z_2)}{z_1-z_2} \neq 0\) für je zwei Stellen \(z_1\) und \(z_2\) innerhalb des Einheitskreises, ist praktisch wenig brauchbar. Der Verf. entwickelt andere, an gewisse vorausgehende Beschränkungen gebundene Bedingungen, die zwar nur hinreichend sind, aber zu praktischen Ergebnissen führen. Als solche findet der Verf. z. B. die Sätze, daß\ eine Funktion der Form \[ w = a_1 z + a_2 \frac {z^2}2 + \cdots + a_n \frac {z^n}n + \cdots \] immer dann eine schlichte Abbildung des Einheitskreises leistet, wenn die Koeffizienten an eine nicht wachsende Folge positiver Größ\ e bilden; desgleichen eine Funktion der Form \[ w = a_1 z + a_2 \frac {z^2}{2^2} + \cdots + a_n \frac {z^n}{n^2} + \cdots \] immer dann, wenn \(| a_1| \geqq \sum_{i=2}^\infty | a_i| .\) Im letzten Falle ergibt sich sogar die Abbildung auf einen konvexen Bereich.