Über die von \textit{A. v. Ettingshausen} entdeckten verkürzten Rekursionsformeln für die \textit{Bernoulli}schen Zahlen. (Q1473673)

Zuerst wird der Satz bewiesen: Befriedigen die Polynome \(f_0(x), f_1(x), f_2 (x), \dots, f_n (x), \dots\) die Funktionalgleichung \((-1 )^n f_n (- x -1 )= f_n (x),\) so gelten für die Elemente \(a_k\) der Zahlenfolge \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\) die bloß\ der Bedingung \(a_0 \neq 0\) genügt, indem für jedes \(n\) \[ f_n (x) = \sum_{s=0}^{s=n} \frac {a_s x^{n-s}}{(n-s)!} \] gesetzt wird, die beiden verkürzten Rekursionsformeln: \[ \sum_{s=0}^{s=\omega} (-1)^s (m+n-q-s)! \left[ (-1)^n \left( \begin{matrix} n\\s \end{matrix} \right) + (-1)^m \left( \begin{matrix} m-q\\ s\end{matrix} \right) \right] a_{m+n-s+1} \] \[ (17) \qquad = \sum_{s=0}^{s=q} \frac {(-1)^s (n+q-s)! (m-q)! }{ (q-s)! (m+n-s+1)! }\;a_s, \] \[ (18) \quad \sum_{s=0}^{s=\omega} (-1)^s (m+n+q-s)! \left[ (- 1)^n \left( \begin{matrix} n\\s \end{matrix} \right) - (-1)^m \left( \begin{matrix} m+q\\ s\end{matrix} \right) \right] a_{m+n-s} = 0, \] wo die Summationen linker Hand soweit auszudehnen sind, bis die dort vorkommenden Binomialkoeffizienten beide verschwinden. Hieraus folgt, daß\ die Zahlenfolge der \(a_n\) völlig bestimmt ist, wenn bloß\ eine der beiden Folgen \(a_1, a_3, a_5, \dots, a_{2n+1}, \dots\) oder \(a_0, a_2, a_4 \dots, a_{2n}, \dots\) gegeben ist, nur daß\ die ersten Elemente \(a_1\) oder \(a_0\) nicht Null sein dürfen. Es ist nämlich \(a_0 = 2a_1,\) und \[ (21)\qquad (-1)^{n-1} \left( \frac 12 a_{2n} - a_{2n+1} \right) = \sum_{s=0}^{n-1} \frac {(-1)^s a_{2s+1} B_{n-s}}{(2n- 2s)!}, \] \[ (22)\qquad (-1)^{n} a_{2n+1} = \sum_{s=0}^{s= n} \frac {(-1)^s a_{2s} T_{n-s+1}}{(2n-2s+1)!2^{2n-2s+1}}, \] wo \(B_n\) die \textit{Bernoulli}schen Zahlen, \(T_n\) die Tangentenkoeffizienten bezeichnen. Setzt man \(a_1 = \frac 12, a_{2n+1} = 0,\) so wird \(a_0 = 1, a_{2n}= \frac {(-1)^{n-1} B_n}{(2n)!},\) und in diesem Falle sind die Elemente der Funktionenfolge \(f_0 (x), f_1 (x), \dots,\) die \textit{Bernoulli}schen Funktionen \(B_0(x),B_1(x), \dots.\) Ist in (17) \(q > 0,\) so entfließen verkürzte Rekursionsformeln, die \textit{Bernoulli}sche Zahlen mit dem Stellenzeiger \(B_1, B_2, B_3, \dots, B_\nu, B_{\nu + s +1}, B_{\nu + s +2}, \dots, B_{\nu + s +t}\) enthalten. Für \(q = 0\) liefert (17) eine verkürzte Formel, die von \textit{Saalschütz,} gleichzeitig aber auch von \textit{Hermite} gefunden ist. Wird in (18) \(q = 0\) angenommen, so entfließen die von \textit{A. v. Ettingshausen} (Vorlesungen über höhere Mathematik 1, 284-285, 1827) entdeckten Formeln; von ihnen entdeckte \textit{L. v. Seidel} 1877 einen Spezialfall, während Stern sie aufs neue 1878 fand. Die weiteren Ausführungen beleuchten die Beziehungen dieser Überlegungen mit den früheren Untersuchungen des Verf. über den Gegenstand und mit denen anderer Mathematiker.